Плоский каркас из девяти резисторов

Используйте зеркальную симметрию каркаса относительно прямой, проходящей через \(E\) и \(F\). Точки, которые имеют одинаковый потенциал, можно соединять или разъединять без изменения токов.

Пусть положительный полюс батареи подключён к точке \(A\), а отрицательный — к точке \(B\). Рассмотрим распределение токов в ветвях каркаса. Так как при подключении батареи к точкам \(A\) и \(B\) каркас зеркально симметричен относительно прямой \(EF\), распределение токов также обладает зеркальной симметрией. В частности, по отрезкам \(CF\) и \(FD\) течёт один и тот же ток \(I_4\). Поэтому точку \(F\) можно отсоединить от отрезка \(AB\) без изменения распределения токов.

Сопротивления участков \(CED\) и \(CFD\) одинаковы и равны \(2R\). Поэтому токи \(I_3\) и \(I_4\) совпадают: \(I_3 = I_4\). Закон сохранения заряда в узле \(C\) даёт: \[I_2 = I_3 + I_4 + I = 2I_3 + I.\] Приравнивая напряжения на участках \(CD\) и \(CED\), получаем: \[IR = 2I_3 R \quad\Rightarrow\quad I = 2I_3.\] Двигаясь по пути \(ACDB\), запишем напряжение \(V\) так: \[V = I_2 R + I R + I_2 R = 2I_2 R + I R.\] Исключая из полученных уравнений токи \(I_3\) и \(I_2\), находим ток \(I\): \[I_2 = 2I_3 + I = 2I, \qquad V = 2I_2 R + I R = 5IR \quad\Rightarrow\quad I = \frac{V}{5R} = 34{,}6\ \text{мА}.\]