Диск в трубе и обруч

Все три тела касаются друг друга в одной точке. Найдите, как связаны скорость центра диска и скорость центра обруча, и примените условие отсутствия проскальзывания в точке касания.

Пусть в некоторый момент диск и обруч находятся в самом нижнем положении в трубе, как на рисунке. Центр обруча \(O_1\) движется по окружности радиуса \(R-2r\), центр диска — по окружности радиуса \(R-r\) (он лежит внутри обруча, на расстоянии \(r\) от его центра). Оба центра вращаются вокруг оси трубы с одной угловой скоростью \[\Omega = \frac{v}{R-r}.\] В точке касания всех трёх тел скорость должна быть равна нулю (нет проскальзывания), поэтому для тела радиуса \(\rho\), катящегося внутри окружности радиуса \(R\), абсолютная угловая скорость равна \[\omega = \frac{(R-\rho)\,\Omega}{\rho} .\] Для диска (\(\rho = r\)) получаем \(\omega_д = \dfrac{v}{r}\), для обруча (\(\rho = 2r\)) — \(\omega_о = \dfrac{(R-2r)\,v}{2r\,(R-r)}\). Оба тела вращаются в одну сторону.