Задачи › Теплопроводность, закон охлаждения Ньютона

Остеклованное радиоактивное топливо

  1. Остеклованное радиоактивное топливо

    ИОШ 2020/21, 11 кл.
    7/10

    Отработанное топливо атомных электростанций необходимо хранить, не допуская его попадания в воздух или грунтовые воды. Для этого топливо остекловывают, т.е. смешивают с расплавленным стеклом, которое благодаря химической инертности после застывания удерживает топливо в себе. Топливо остекловывают в виде цилиндров радиусом \(R = 0{,}15\) м. За счёт остаточных радиоактивных превращений в топливе продолжается выделение тепла. Известно, что остаточное энерговыделение происходит равномерно по объёму цилиндра и на единицу его длины составляет \(q_l = 1\) кВт/м. Определить перепад температуры между центром цилиндра и его поверхностью. Теплопроводность стекла \(\lambda = 3\) Вт/(м·К).

    Указание. Количество тепла \(q\), переносимого в единицу времени через единицу площади тонкого слоя толщиной \(\Delta x\), одна поверхность которого поддерживается при температуре \(t_1\), вторая — при температуре \(t_2\), определяется законом Фурье: \(q = \lambda\,(t_1 - t_2)/\Delta x\), где \(\lambda\) — коэффициент теплопроводности.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Выделите мысленно цилиндр радиуса \(x\) и приравняйте тепло, которое через его боковую поверхность уходит наружу, тепловыделению внутри него.

    Ответ

    \(T_{\text{центр}} - T_{\text{пов}} = \dfrac{q_l}{4\pi\lambda} \approx 26{,}5\) К (от радиуса цилиндра не зависит).

    Решение

    В тепловом равновесии поток тепла через боковую поверхность цилиндра радиуса \(x\) равен тепловыделению внутри неё. На отрезке длины \(l\) выделяется \(q_l\,l\) тепла, а внутри радиуса \(x\) — доля \(x^2/R^2\) от этого: \[Q(x) = q_l\,l\,\frac{x^2}{R^2}.\] По закону Фурье через боковую поверхность \(2\pi x\,l\) этот поток равен \(Q(x) = 2\pi x\,l\,\lambda\,\left|\dfrac{dT}{dx}\right|\), откуда \[\left|\frac{dT}{dx}\right| = \frac{q_l\,x}{2\pi\lambda R^2}.\] Перепад температуры между осью и поверхностью получаем интегрированием по \(x\) от \(0\) до \(R\): \[T_{\text{центр}} - T_{\text{пов}} = \int_0^R \frac{q_l\,x}{2\pi\lambda R^2}\,dx = \frac{q_l}{4\pi\lambda} \approx 26{,}5~\text{К}.\] Результат не зависит от радиуса цилиндра.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх