Дифференциальный ворот

Для равномерного подъёма найдите натяжение верёвки, сравнив его с весом груза. Затем запишите равенство моментов сил относительно оси ворота. Скорость груза связана с тем, сколько верёвки наматывается на большой блок и сматывается с малого.

Чтобы подъём груза совершался равномерно, удвоенная сила натяжения верёвки должна равняться силе тяжести груза: \(2T = mg\), откуда \[T = \frac{mg}{2}.\] Так как ворот вращается равномерно, сумма моментов сил, приложенных к нему, равна нулю: \[T r + F\cdot 4r - T\cdot 2r = 0,\] где \(F\) — сила, приложенная к ручке ворота. Отсюда \[F = \frac{T}{4} = \frac{mg}{8}.\] Найдём теперь скорость подъёма груза. Если ворот вращается с угловой скоростью \(\omega\), то за время \(\Delta t\) на большой блок ворота наматывается верёвка длиной \(\Delta l_1 = 2r\omega\,\Delta t\), с малого сматывается верёвка длиной \(\Delta l_2 = r\omega\,\Delta t\). Поэтому верёвка, на которой висит подвижный блок, становится короче на величину \(\Delta l_1 - \Delta l_2 = r\omega\,\Delta t\), а подвижный блок поднимается на половину этой величины: \[\Delta x = \frac{\Delta l_1 - \Delta l_2}{2} = \frac{r\omega\,\Delta t}{2}.\] Отсюда находим скорость подъёма груза (которая равна скорости подъёма блока): \[v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{r\omega}{2}.\]