Точка пересечения вращающихся стержней

Рассмотрите треугольник, образованный осями вращения и точкой пересечения стержней. Найдите его углы через \(\omega t\) и покажите, что сторона, соединяющая точку пересечения с осью B, не меняется со временем.

Пусть после начала движения прошло некоторое время \(t < \pi/2\omega\). Рассмотрим треугольник AOB, где A и B — концы стержней, вокруг которых они вращаются, O — точка пересечения стержней в этот момент.

Угол OBC равен \(2\omega t\), поэтому угол ABO в треугольнике AOB равен \(\pi - 2\omega t\). Угол OAB равен \(\omega t\), значит, угол AOB равен \[\angle AOB = \pi - \angle OAB - \angle ABO = \pi - \omega t - (\pi - 2\omega t) = \omega t.\] Таким образом, в треугольнике OAB углы \(\angle AOB = \angle OAB\), и, следовательно, этот треугольник равнобедренный, в котором \(AB = BO\) в любой момент времени. Поэтому расстояние от точки B до точки пересечения стержней остаётся одинаковым и равным \(l\). Точка пересечения стержней движется с постоянной угловой скоростью \(2\omega\) по окружности с центром в точке B и радиусом \(l\). Поэтому величина скорости этой точки не меняется и равна \[v = 2\omega l. \qquad (*)\] Её ускорение центростремительное и равно \[a = 4\omega^2 l. \qquad (**)\] Рассмотренное решение становится неверным при \(t > \pi/2\omega\), поскольку стержни перестают пересекаться. Однако через время, за которое правый стержень совершит ещё один оборот (при \(t > 3\pi/2\omega\) после начала движения стержней), стержни снова начнут пересекаться, причём точка их пересечения будет находиться ниже отрезка AB. Рассуждения, аналогичные приведённым выше, показывают, что траекторией точки пересечения стержней будет нижняя половинка окружности, а её скорость и ускорение будут такими же. Затем (при \(t > 2\pi/\omega\)) оба стержня станут направлены вправо, и движение точки их пересечения повторится.

Таким образом, в течение половины времени, за которое правый стержень совершит два полных оборота (а левый — один), стержни будут пересекаться, в течение второй половины времени — нет. Точка их пересечения движется сначала по верхней половинке окружности с центром в точке B и радиусом \(l\), затем стержни не пересекаются, затем — по нижней половинке той же окружности. Когда стержни пересекаются, скорость и ускорение точки их пересечения постоянны и определяются формулами (*) и (**). Когда стержни не пересекаются, вопрос о скорости и ускорении точки их пересечения бессмысленен.