Задачи › Неравномерное движение, скорость как производная

Полоса разгона

  1. Полоса разгона

    ВсОШ 2025/26, 9 кл.
    4/10

    Автомобиль въезжает на прямолинейную полосу разгона со стартовой скоростью \(v_0\) и разгоняется на этой полосе до скорости \(v_1\), финишируя. Известно, что при движении по полосе разгона модули скорости \(v(t)\) и ускорения \(a(t)\) автомобиля в любой момент времени \(t\) связаны соотношением \(v(t) = \tau\cdot a(t)\), где \(\tau\) — постоянная.

    Рисунок

    1. Найдите ускорение \(a\) автомобиля на старте. Дайте ответ в м/с\(^2\) с округлением до десятых долей.

    2. Найдите рывок \(j\) автомобиля на финише. Дайте ответ в м/с\(^3\) с округлением до десятых долей.

    3. Найдите длину \(l\) полосы разгона. Дайте ответ в метрах с округлением до целого числа.

    Рывком в кинематике называется векторная физическая величина \(\vec j\), равная изменению ускорения \(\vec a\) движения точки в единицу времени: \(\vec j = \dfrac{\Delta \vec a}{\Delta t}\). Иными словами, рывок — это скорость изменения ускорения. В настоящей задаче требуется найти модули векторов \(\vec j\) и \(\vec a\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Продифференцируйте соотношение \(v = \tau a\) по времени. Длину полосы найдите, проинтегрировав скорость по времени.

    Ответ

    1) \(1{,}0\), \(1{,}0\), \(1{,}5\), \(0{,}5\), \(1{,}3\) м/с\(^2\) (варианты 1–5);  2) \(0{,}3\), \(0{,}4\), \(0{,}2\), \(0{,}2\), \(0{,}1\) м/с\(^3\);  3) 200, 25, 50, 100, 160 м.

    Решение

    13. По условию \(v(t) = \tau\cdot a(t)\). На старте \(a = \dfrac{v_0}{\tau}\).

    14. Из уравнения \(v(t) = \tau a(t)\) получим \(\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \tau\dfrac{\Delta a}{\Delta t}\), то есть \(a(t) = \tau\, j(t)\). На финише \(j = \dfrac{a_1}{\tau} = \dfrac{v_1}{\tau^2}\).

    15. Запишем уравнение \(v(t)\) в виде \(\dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \tau\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\). Сокращая на \(\Delta t\) и суммируя, получим \[l = \tau (v_1 - v_0).\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх