Краны

Запишите тепловой баланс смесителя: температура смеси — средневзвешенная по расходам воды. Из двух данных режимов удобно найти сумму температур, а не каждую температуру отдельно.

Пусть из трубы с холодной водой поступает поток \(m_{\text{х}}\) кг/с с температурой \(T_{\text{х}}\), а из трубы с горячей — \(m_{\text{г}}\) кг/с с температурой \(T_{\text{г}}\). Уравнение теплового баланса для промежутка времени \(\Delta t\) даёт температуру вытекающей воды: \[T = \frac{m_{\text{х}}T_{\text{х}} + m_{\text{г}}T_{\text{г}}}{m_{\text{х}} + m_{\text{г}}}.\] В первом режиме \(m_1 = \frac{2}{3}M\) и \(m_2 = \frac{1}{4}M\), где \(M\) — максимальный поток воды в трубе; получаем систему \[\frac{m_1T_{\text{х}} + m_2T_{\text{г}}}{m_1+m_2} = 30\,^\circ\text{C}, \qquad \frac{m_2T_{\text{х}} + m_1T_{\text{г}}}{m_1+m_2} = 60\,^\circ\text{C}.\] Сложим левые и правые части этих уравнений: в сумме получаем \(T_{\text{х}}+T_{\text{г}} = 2T_*\), где \(T_*\) — искомая температура при полностью открытых кранах (в этом случае \(T_* = \dfrac{T_{\text{х}}+T_{\text{г}}}{2}\)). Поэтому \[T_* = \frac{1}{2}\left(30\,^\circ\text{C}+60\,^\circ\text{C}\right) = 45\,^\circ\text{C}.\]