Гравитационная плотина

Запишите условие равновесия по горизонтали (сила давления воды на наклонную стенку уравновешивается трением) и по вертикали. Силу давления найдите интегрированием давления по глубине.

Условие равновесия плотины: \(F_{\text{д}}\sin\alpha - \mu N = 0\) (горизонталь), \(F_{\text{д}}\cos\alpha + mg - N = 0\) (вертикаль), где \(F_{\text{д}}\) — полная сила давления воды на наклонную стенку. Давление на глубине \(h\) равно \(\rho_{\text{в}} g h\); полоса толщиной \(dh\) даёт \(dF_{\text{д}} = \rho_{\text{в}} g h\, a\, \dfrac{dh}{\sin\alpha}\). Интегрируя, \[F_{\text{д}} = \frac{\rho_{\text{в}} g a}{\sin\alpha}\int_0^H h\,dh = \frac{\rho_{\text{в}} g a H^2}{2\sin\alpha}.\] Из условия равновесия масса плотины \(m = \dfrac{\rho_{\text{в}} a H^2}{2\mu}\left(1 - \mu\,\text{ctg}\,\alpha\right)\). С другой стороны, \(m = \rho_{\text{б}} a H\,\dfrac{L + 2X}{2}\), где \(L = H\,\text{ctg}\,\alpha\). Отсюда \[X = \frac{H}{2}\left(\frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{б}}}\cdot\frac{1 - \mu\,\text{ctg}\,\alpha}{\mu} - \text{ctg}\,\alpha\right) \approx 9{,}1\ \text{м}.\]