Задачи › Устойчивость равновесия

Гравитационная плотина, минимальная высота (вариант 2)

  1. Гравитационная плотина, минимальная высота (вариант 2)

    «Шаг в будущее» 2022/23, 10 кл.
    6/10

    Гравитационная плотина — это сооружение, преграждающее путь воде, удерживаемое на месте только силой трения между основанием конструкции и опорной поверхностью. Рассматриваемая плотина горизонтальной протяжённостью \(a = 1\,\text{м}\) выполнена из бетона, имеет поперечное сечение в форме трапеции, длина малого основания которой \(X = 5{,}5\,\text{м}\). «Мокрая» стенка плотины наклонена под углом \(45^\circ\) к горизонту, а «сухая» — вертикальна. Высота столба жидкости равна высоте плотины \(H\). Коэффициент трения между конструкцией и опорной поверхностью \(\mu = 0{,}25\), плотность бетона \(\rho_{\text{б}} = 2200\,\text{кг/м}^3\), плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\,\text{кг/м}^3\). Найдите минимальную высоту плотины \(H\), при которой она будет неподвижна.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Используйте ту же схему сил, что и для плотины варианта 1: горизонтальное равновесие с трением и вертикальное равновесие, сила давления воды как интеграл по глубине.

    Ответ

    \(H \approx 31{,}4\,\text{м}\).

    Решение

    Условия равновесия, сила давления воды \(F_{\text{д}} = \dfrac{\rho_{\text{в}} g a H^2}{2\sin\alpha}\) и масса плотины из варианта 1 дают \[H = \frac{2X}{\dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{б}}}\cdot\dfrac{1 - \mu\,\text{ctg}\,\alpha}{\mu} - \text{ctg}\,\alpha}.\] Подставляя \(X = 5{,}5\) м, \(\mu = 0{,}25\), \(\alpha = 45^\circ\), получаем по этой формуле \(H \approx 30{,}3\) м. Официальное решение приводит значение \(31{,}4\) м.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх