Цепь из резисторов и неидеального вольтметра

Если бы вольтметр был идеальным, показания при подключении к 1–2 и 1–5 различались бы ровно в 4 раза. Этого нет, значит, вольтметр имеет конечное сопротивление \(R\). Найдите отношение \(r/R\) и используйте его для точек 1–3.

Если бы вольтметр был идеальным (т.е. имел бы бесконечно большое сопротивление), то его показания при подключении к любым точкам цепи не искажали бы цепь, и потому его показания при подключении к точкам 1–2 отличались бы от его показаний при подключении к точкам 1–5 ровно в 4 раза. В условии это не так. Значит, вольтметр не идеален, т.е. имеет конечное сопротивление. Найдём отношение сопротивления резистора к сопротивлению вольтметра.

Пусть напряжение источника равно \(U\). Поскольку источник идеален, то в первом случае вольтметр показывает напряжение источника. Значит, \(U = U_{15}\).

Найдём показания вольтметра, когда он подключен к точкам 1–2. Общее сопротивление цепи в этом случае \[R_{об} = 3r + \frac{rR}{r+R},\] где \(r\) — сопротивление резистора, \(R\) — сопротивление вольтметра. Поэтому ток в цепи равен \[I = \frac{U}{3r + \dfrac{rR}{r+R}}.\] Ток \(I_V\) через вольтметр и напряжение \(U_{12}\) на вольтметре (т.е. собственно его показания) найдём по правилам параллельного соединения: \[I_V = \frac{r}{r+R}\,I = \frac{U}{4R+3r}, \qquad U_{12} = I_V R = \frac{UR}{4R+3r}.\] Отсюда находим, что \[\frac{U_{15}}{U_{12}} = \frac{4R+3r}{R} = 4 + 3\frac{r}{R},\] и, следовательно, отношение сопротивлений резистора и вольтметра равно \[\frac{r}{R} = \frac{1}{3}\left(\frac{U_{15}}{U_{12}} - 4\right). \tag{*}\] Аналогично действуем, когда вольтметр подключён к точкам 1–3: \[R_{об,1} = 2r + \frac{2rR}{2r+R}, \qquad I_1 = \frac{U}{2r + \dfrac{2rR}{2r+R}}, \qquad I_{V,1} = \frac{2r}{2r+R}\,I_1 = \frac{U}{2R+2r},\] \[U_{13} = I_{V,1}R = \frac{UR}{2R+2r} = \frac{U}{2 + 2\dfrac{r}{R}}.\] Подставляя сюда отношение сопротивлений из (*) и учитывая, что \(U = U_{15}\), получим \[U_{13} = \frac{3U_{15}U_{12}}{2\left(U_{15} - U_{12}\right)} = 1{,}87~\text{В}.\]