Пружина

Ящик подпрыгнет, когда сила сжатой пружины в верхней точке колебаний груза сравняется с силой тяжести ящика. Для пункта а) используйте закон сохранения энергии, для пункта б) — фазу гармонического колебания.

a) \(h_{\mathrm m}=\dfrac{3mg}{2k}=\dfrac{3g}{2\omega^2}\);  b) \(t=\dfrac{5\pi}{3\omega}\).

а) К моменту, когда ящик достигает поверхности земли, грузик приобрёл скорость \(v_i=\sqrt{2gh}\). Затем пружина начинает колебаться вокруг нового положения равновесия, то есть вокруг точки, где сила упругости пружины уравновешивает действующую на грузик силу тяжести: \(ky_0=mg\). Чтобы достичь положения равновесия, грузик должен пройти ещё дополнительное расстояние \(y_0=\dfrac{mg}{k}\). Пусть амплитуда колебаний пружины равна \(A\). В самой верхней точке грузик на мгновение останавливается, и сжатая пружина действует как на грузик, так и на ящик с силой \(k(A-y_0)\). Ящик подпрыгивает при условии \(mg=k(A-y_0)\), откуда \(A=\dfrac{mg}{k}+y_0=2y_0\). Применим теперь закон сохранения энергии. В верхней точке колебаний кинетическая энергия превратилась в гравитационную и потенциальную энергию пружины. \[mgh=\frac{mv_i^2}{2}=mg(A-y_0)+\frac12k(A-y_0)^2=\left(1+\frac12\right)mgy_0=\frac32mgy_0,\] откуда получаем искомую высоту \(h_{\min}=\dfrac32y_0=\dfrac{3mg}{2k}=\dfrac{3g}{2\omega^2}\).

На рисунке: maksimaalne kokkusurumine — максимальное сжатие, algolek — начальное положение, tasakaaluolek — положение равновесия.

b) Отвечая на второй вопрос, исходим из свойств гармонического колебания. Убедимся сначала, что добавление постоянной силы \(mg\) смещает положение равновесия, но оставляет уравнение, описывающее колебание, прежним. Действительно, считая началом отсчёта координаты \(y\) новое положение равновесия, колебание нашей пружины описывается уравнением \(ma=m\ddot y=-k(y-y_0)-mg=-ky\). Угловая частота такого колебания, конечно, \(\omega=\sqrt{k/m}\), а период \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\). Если бы мы начали отсчитывать время с момента, когда грузик проходит положение равновесия, то на максимальное сжатие пружины ушло бы три четверти периода (\(\frac34T\): ящик движется вниз, обратно в положение равновесия и вверх), поскольку при высоте падения \(h=h_{\min}\) ящик может подпрыгнуть только в самом верхнем положении грузика. К сожалению, мы начинаем отсчёт времени не с положения равновесия, а с момента, когда пружина не растянута. Поэтому нам надо учесть добавочное время \(\Delta t\), которое требуется грузику на прохождение расстояния \(y_0\). Так как грузик не движется с постоянным ускорением, то соотношение \(s=at^2/2\) здесь не годится. Для нахождения \(\Delta t\) исходим из фазы \(\varphi\) гармонического колебания, которая требуется для достижения положения равновесия из начального положения. Эту фазу легко выразить через координаты, учитывая, что амплитуде \(A\) соответствует сдвиг фазы координаты на \(\pi/2\) относительно положения равновесия. А именно, \(y_0=A\sin\varphi\), откуда \(\varphi=\arcsin(y_0/A)=\arcsin\dfrac12=\dfrac\pi6\). Время, затрачиваемое на прохождение фазы \(\varphi\), равно \(\Delta t=\dfrac\varphi\omega=\dfrac1{12}T\). Следовательно, ящик проводит на земле до подпрыгивания время \(t=\dfrac34T+\Delta t=\dfrac56T=\dfrac{5\pi}{3\omega}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.