Плавающий куб

Куб тонет, когда внутрь войдёт столько воды, что он окажется полностью погружённым. Найдите уровень воды в кубе в этот предельный момент, затем давление воздуха из условия равновесия на дне и закон Бойля — Мариотта.

\(p=\dfrac{m(p_0a^2+gm)}{a^5\rho}\).

Рассмотрим ситуацию, когда куб из-за проникшей в него воды как раз опустился под поверхность воды, так как тогда на куб действует наибольшая выталкивающая сила. В предельном случае выталкивающая сила и сила тяжести уравновешены, то есть \(F_{\text{т}}=F_{\text{А}}\). Пусть \(M\) — масса проникшей в куб воды, которая выражается через высоту \(h\) воды в кубе как \(M=\rho a^2h\). Из условия равновесия сил \(F_{\text{т}}=F_{\text{А}}\Rightarrow(m+\rho a^2h)g=\rho ga^3\), поэтому \(h=\dfrac{\rho a^3-m}{\rho a^2}=a-\dfrac m{\rho a^2}\). Вода больше не проникает в куб, когда давление воздуха в кубе уравновешивает давление воды, то есть \(p_0+\rho g(a-h)=p_2\), где \(p_2\) — давление воздуха в кубе. Получаем \[p_2=p_0+\rho g\left(a-a+\frac m{\rho a^2}\right)=p_0+\frac{gm}{a^2}.\] Объём воздуха в кубе равен \(V_2=a^3-a^2h=a^3-a^2\left(a-\dfrac m{\rho a^2}\right)=\dfrac m\rho\). До образования отверстия объём воздуха был \(V=a^3\).

Так как температура воздуха не меняется, \(pV=p_2V_2\), и начальное давление \(p\) в кубе было \[p=\frac{p_2V_2}{V}=\frac{\left(p_0+\dfrac{gm}{a^2}\right)\dfrac m\rho}{a^3}=\frac{m(p_0a^2+gm)}{a^5\rho}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.