Перегорание проволочного резистора

Ток через резистор при большом внутреннем сопротивлении источника не зависит от сопротивления резистора. Резистор перегорает, когда тепловыделение начинает превышать теплоотдачу при любом росте температуры.

Поскольку сопротивление источника много больше сопротивления внешней цепи, сила тока через резистор \(I = \varepsilon/(R + r) \approx \varepsilon/r\) не зависит от его сопротивления. Поэтому ток можно считать установленным любым по желанию, например, изменением внутреннего сопротивления источника.

Пусть при токе \(I\) установившаяся температура резистора \(T\) и его сопротивление \(R\) перестаёт меняться. Баланс мощностей дает \[I^2 R_0 \bigl(1 + \alpha(T - T_0)\bigr) = k (T - T_0) ,\] где \(k\) — коэффициент теплоотдачи. Отсюда \[T - T_0 = \frac{I^2 R_0}{k - \alpha I^2 R_0} .\] Если ток достигает значения \[I \to I_{max} = \sqrt{\frac{k}{\alpha R_0}} ,\] температура неограниченно возрастает, и резистор перегорит (тепловыделение растёт с температурой быстрее, чем теплоотвод).

Пусть при токе \(I_1\) температура резистора и его сопротивление равны \(T_1\) и \(R_1\). Тогда \[R_1 = R_0 + R_0\alpha (T_1 - T_0) , \qquad I_1^2 R_0 \bigl(1 + \alpha(T_1 - T_0)\bigr) = k (T_1 - T_0) .\] Выражая из этих формул \(T_1 - T_0\) и приравнивая, получим \[\frac{\alpha}{k} = \frac{R_1 - R_0}{R_1 R_0 I_1^2} .\] Подставляя в формулу для \(I_{max}\), находим максимальный ток, при котором резистор перегорает: \[I_{max} = \sqrt{\frac{R_1}{R_1 - R_0}}\, I_1 = 1{,}26\text{ А} .\]