Горящая пластина

Огонь должен дойти до самой удалённой от краёв точки. Для треугольника такая точка — центр вписанной окружности, и радиус этой окружности выражается через катеты и гипотенузу.

Чтобы вся пластина была охвачена огнём, огонь должен дойти от сторон до самых удалённых от сторон точек. Для прямоугольника со сторонами \(a\) и \(2a\) это точки, лежащие посередине пластины на расстоянии \(a/2\) от сторон (на рисунке они выделены жирной линией). Огонь проходит расстояние \(a/2\) за время \(t\), поэтому скорость распространения огня \[v = \frac{a}{2t} .\]

Для треугольной пластины, подожжённой со всех сторон, полная охваченность наступает, когда огонь дойдёт до центра вписанной окружности, то есть до точки, максимально удалённой от сторон. Время \[t_1 = \frac{r}{v} = \frac{2rt}{a} ,\] где \(r\) — радиус вписанной окружности. Касательные из вершин острых углов к вписанной окружности дают для гипотенузы \(c = \sqrt{5}\,a\) соотношение \(c = (a-r) + (2a-r)\), откуда \[r = \frac{3a-c}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}\,a .\]

Следовательно, \[t_1 = \left(3-\sqrt{5}\right)t .\]