Доска въезжает на шероховатую поверхность

На шероховатом участке сила трения пропорциональна длине части доски, которая там находится. Запишите второй закон Ньютона для малого сдвига доски и проинтегрируйте по пути.

Из второго закона Ньютона: \(V\,\Delta V = g\sin\alpha\,\Delta x - \dfrac{\mu g}{L}\,x\,\Delta x\cos\alpha\), где \(x\) — длина части доски на шероховатой поверхности, \(\mu\) — коэффициент трения. Суммируя, находим скорость доски \[V = \sqrt{g\gamma L\left(2\sin\alpha - \mu\gamma\cos\alpha\right)},\] где \(\gamma\) — отношение длины части доски, заехавшей на шероховатую поверхность, к её длине. При \(\gamma = 0{,}8\), \(L = 1\) \(\text{м}\), \(\alpha = 20^\circ\), \(\mu = 0{,}3\) получаем \(V \approx 1{,}92\) \(\text{м/с} \approx 191{,}5\) \(\text{см/с}\).