Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Шарик на резиновом жгуте

  1. Шарик на резиновом жгуте

    СПбГУ 2020/21, 10-11 кл.
    6/10

    К вертикальному шесту прикрепляют металлический шарик массой \(400\) г на идеальном резиновом жгуте жёсткостью \(50\) Н/м с начальной длиной \(4\) см. Шарик на жгуте начинают вращать с постоянной угловой скоростью \(\omega\) вокруг линии шеста. При какой минимальной угловой скорости вращения \(\omega\) шарик оторвётся от поверхности шеста? Радиус шарика много меньше длины жгута. Ускорение свободного падения считать равным \(10\) м/с\(^2\). Ответ приведите в рад/с, округлив до ближайшего целого.

    Подсказка (будет приведена в условии для 10-го класса): косинус малого угла приближённо равен 1, синус малого угла — самому углу.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    \(9\) рад/с.

    Решение

    Второй закон Ньютона в проекциях, пока угол \(\alpha\) ненулевой: \[\begin{cases} F_\text{упр}\sin\alpha = F_\text{цб},\\ F_\text{упр}\cos\alpha = mg. \end{cases}\] Подставим \(F_\text{упр} = k(l - l_0)\) и \(F_\text{цб} = m\omega^2 r = m\omega^2 l\sin\alpha\): \(k(l - l_0) = m\omega^2 l\) и \(k(l - l_0)\cos\alpha = mg\).

    При очень малом угле \(\cos\alpha = 1\), тогда \((l - l_0) = mg/k\), и \[\omega^2 = \frac{k(l - l_0)}{ml} = \frac{g}{l} = \frac{g}{l_0 + mg/k} .\] Отсюда \(\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l_0 + mg/k}} \approx 9\) рад/с.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх