Шарики на стержне теряют контакт

Горизонтальный импульс системы сохраняется, энергия тоже. В момент, когда шарики на одной вертикали, сила реакции горизонтальной плоскости равна нулю, то есть на нижний шарик действует только сила тяжести и натяжение стержня.

Внешние вертикальные силы — тяжесть и реакция плоскости — не дают горизонтального импульса, поэтому горизонтальный импульс системы сохраняется. В момент, когда шарики на одной вертикали, они движутся с одинаковыми по модулю скоростями \(v\), противоположными по направлению. Потерь энергии нет: \[\frac{mv_0^2}{2}=2\cdot\frac{mv^2}{2}+mgl.\] В этот момент система отсчёта, связанная с нижним шариком, инерциальна. В ней верхний шарик движется по окружности радиуса \(l\) со скоростью \(2v\): \(\dfrac{m\,4v^2}{l}=mg+T\). В лабораторной системе для нижнего шарика \(mg=T\). Отсюда \(v^2=\dfrac{gl}{2}\) и \[v_0=\sqrt{3gl}.\]