Груз на шарнирной доске

Нижний конец доски отрывается, когда момент силы давления груза относительно шарнира сравнивается с моментом силы тяжести доски. Найдите, на каком расстоянии от \(O\) это происходит, и дальше используйте закон сохранения энергии.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на нормаль к доске для груза: \[N = mg\cos\alpha,\] где \(N\) "— нормальная реакция опоры. Запишем уравнение моментов для доски относительно точки \(O\) (груз \(m\) на расстоянии \(x\) от точки \(O\), доска начинает отрываться от пола): \[Mg\cdot\left(\frac{l}{2} - h\right)\cos\alpha = Nx = mgx\cos\alpha \;\Longrightarrow\; x = \frac{M}{m}\cdot\frac{l-2h}{2} .\]

1. Если \[\frac{M}{m}\cdot\frac{l-2h}{2} > h \;\Longrightarrow\; \frac{M}{m} > \frac{2h}{l-2h},\] то не существует таких скоростей, при которых доска оторвётся от пола.

2. Если \[\frac{M}{m} < \frac{2h}{l-2h},\] тогда из закона сохранения энергии следует \[\frac{mv^2}{2} \ge mg(l - h + x)\sin\alpha \;\Longrightarrow\; v \ge \sqrt{2g\left(l - h + \frac{M}{m}\cdot\frac{l-2h}{2}\right)\sin\alpha}.\]