Электрон с меняющимся ускорением

Путь минимален, когда начальное ускорение направлено против начальной скорости. Введите время \(\tau'\) до первой остановки и выразите через него весь путь по графику скорости.

Очевидно, что путь электрона будет минимален, если векторы начальной скорости и начального ускорения направлены в противоположные стороны. Пусть \(\tau'\) "— время, прошедшее с момента начала торможения до момента первой остановки электрона. На графике представлен характер движения электрона (см. рисунок).

Пройденный путь равен \[S = v\tau' + \frac{v}{\tau'}\left(\frac{\tau}{2} - \tau'\right)^2 = v\left(\tau' + \frac{\left(\frac{\tau}{2} - \tau'\right)^2}{\tau'}\right) \;\Longrightarrow\; \tau'^2 - \frac{1}{2}\left(\tau + \frac{S}{v}\right)\tau' + \frac{\tau^2}{8} = 0 .\] Дискриминант этого квадратного уравнения должен быть неотрицательным, т.е. \[\frac{1}{4}\left(\tau + \frac{S}{v}\right)^2 - \frac{1}{2}\tau^2 = \left(\frac{\tau}{2} + \frac{S}{2v} - \frac{\tau}{\sqrt2}\right)\left(\frac{\tau}{2} + \frac{S}{2v} + \frac{\tau}{\sqrt2}\right) \ge 0 \;\Longrightarrow\; \frac{\tau}{2} + \frac{S}{2v} - \frac{\tau}{\sqrt2} \ge 0 .\] Значит, минимальный путь равен \[S_{\min} = (\sqrt2 - 1)\,v\tau .\]