Задачи › Связанные колебания, биения

Нормальные колебания двойного маятника

  1. Нормальные колебания двойного маятника

    ВсОШ 1992/2001, 11 кл.
    7/10

    Соберите установку в соответствии со схемой (рис. 4.11). Верхняя нить двойного маятника закреплена в точках \(A\) и \(B\), лежащих на одном уровне; точки \(C\) и \(D\) крепления нижних нитей находятся на некотором расстоянии \(\Delta L\) от линии \(AB\). На расстоянии \(L\) от этой же линии к нижним нитям крепятся грузы.

    Рисунок

    Рис. 4.11

    Ответьте на следующие вопросы:

    а) Сколько типов нормальных колебаний (мод) имеет двойной маятник?

    б) Как возбудить каждую из этих мод?

    Примечание. Модами, или нормальными колебаниями, называются такие движения грузов, при которых они совершают гармонические движения одинаковой частоты.

    Задание 1. Расположите моды в порядке возрастания их частоты и опишите движение грузов (синфазное или противофазное, в какой плоскости происходят колебания).

    Задание 2. Определите отношение \(\beta = \Delta L/L\).

    Оборудование: нитки, два одинаковых груза с ушком, планка с двумя вбитыми гвоздиками, штатив с лапкой для крепления планки.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    а) пять типов нормальных колебаний; б) все моды можно возбудить последовательно, медленно увеличивая частоту колебаний нити. Задание 1: 1-я мода — синфазные колебания в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа; 2-я — противофазные колебания в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа; 3-я — противофазные колебания в плоскости чертежа; 4-я — синфазные колебания в плоскости чертежа; 5-я — противофазные вертикальные колебания. Задание 2: \(\beta = \dfrac{\Delta L}{L} = \dfrac{2N + 1}{(N + 1)^2}\), где \(N\) — число колебаний, за которое направление колебаний грузов вновь становится первоначальным.

    Решение

    а) Двойной маятник имеет пять типов нормальных колебаний;

    б) Все эти моды можно возбудить последовательно, медленно увеличивая частоту колебания нити.

    1. Расположение мод в порядке возрастания частоты:

    1-я мода — синфазные колебания в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа (см. рис. 4.11 в условии);

    2-я мода — противофазные колебания в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа;

    3-я мода — противофазные колебания в плоскости чертежа;

    4-я мода — синфазные колебания в плоскости чертежа;

    5-я мода — противофазные вертикальные колебания.

    2. Чтобы вычислить отношение \(\beta = \Delta L/L\), сравним периоды колебаний 1-й и 3-й мод. Для этого нужно возбудить одновременно два этих типа колебаний. Оба груза сначала отводим в плоскости, перпендикулярной чертежу (удобнее на себя), а затем один из грузов отводим влево, другой — вправо и отпускаем. Грузы начинают колебаться в плоскостях, проходящих через ось симметрии маятника и расположенных под углом примерно \(\pi/2\) друг к другу (при одинаковых начальных отклонениях на себя и в сторону). Эти колебания являются суперпозицией двух типов колебаний: в плоскости, перпендикулярной чертежу, с периодом \(T_1 = 2\pi\sqrt{L/g}\), где \(g\) — ускорение свободного падения, и в плоскости чертежа с периодом \(T_2 = 2\pi\sqrt{(L - \Delta L)/g}\). Поскольку эти периоды не равны, то каждый из грузов будет совершать колебания в вертикальной плоскости, которая медленно вращается. Через некоторое число \(N\) колебаний грузы вновь вернутся в первоначальную плоскость колебаний. Это произойдёт при условии: \[NT_1 = (N + 1)T_2.\] После подстановки в это уравнение выражений для \(T_1\) и \(T_2\) и несложных алгебраических преобразований получим \[\beta = \dfrac{\Delta L}{L} = \dfrac{2N + 1}{(N + 1)^2}.\] Сосчитав число колебаний \(N\), при котором направление колебаний грузов станет первоначальным, вычислим величину \(\beta\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх