Колебания грузов на пружине

1.1. К пружине подвешиваем груз № 1 массы \(m_1\) и измеряем удлинение пружины \(\Delta x_1\), затем подвешиваем груз № 2 массы \(m_2\) и измеряем удлинение пружины \(\Delta x_2\). Массу груза № 1 находим, решая систему уравнений: \[\left.\begin{array}{l} m_1g = k\Delta x_1 \\ m_2g = k\Delta x_2 \end{array}\right\}\ \Rightarrow\ m_1 = m_2\dfrac{\Delta x_1}{\Delta x_2}.\] 1.2. Имеет смысл измерять число колебаний при одинаковом изменении амплитуды \(A\) колебаний, например, при \(\Delta A \simeq 1\) мм.

1.3. Пусть \(\Delta x\) — удлинение пружины, к которой подвесили груз массы \(m\). Возбудим в системе груз–пружина вертикальные колебания с амплитудой \(A\) (см. рисунок).

Полная механическая энергия системы «груз–пружина» равна \[w = mgA + \dfrac{k}{2}(\Delta x - A)^2 = \dfrac{mg\cdot\Delta x}{2} + \dfrac{mg\cdot A^2}{2\Delta x}.\] (При записи правой части уравнения использовано равенство \(k = \dfrac{mg}{\Delta x}\).)

Пусть через \(N\) периодов колебаний их амплитуда \(A_N\) уменьшится на \(\delta = A - A_N\). При этом механическая энергия системы уменьшится на \(\Delta w_N = \dfrac{mg}{2\Delta x}(A^2 - A_N^2) = \dfrac{mg}{2\Delta x}(A + A_N)\cdot\delta\).

Если \(\Delta w_N \ll w\), то изменение механической энергии системы за один период колебаний приближённо равно \[\Delta w_1 \simeq \dfrac{\Delta w_N}{N}.\] Отсюда находим относительное изменение энергии системы за один период колебаний \[\dfrac{\Delta w_1}{w} \simeq \dfrac{(A + A_N)\delta}{(\Delta x^2 + A^2)N}.\] 2.1. Воспользуемся формулой для периода колебаний груза на пружине: \[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}. \tag{1}\] Измерив периоды колебаний грузов № 1 и № 2 с помощью формулы (1), получим \[m_1 = m_2\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2.\] 2.2. Из (1) следует: \[m = \dfrac{T^2k}{4\pi^2}.\] В случае колебаний груза на пружине в воде его эффективная масса \(m_{\text{э}} = \dfrac{T_{\text{э}}^2k}{4\pi^2}\).

Тогда относительное приращение массы \[\dfrac{\Delta m}{m} = \dfrac{m_{\text{э}} - m}{m} = \left(\dfrac{T_{\text{э}}}{T}\right)^2 - 1.\] Примечание. Величина \(\Delta m\) называется присоединённой массой.