Трение дерева по дереву

Поднимая за один конец деревянный брусок, создаём наклонную плоскость, на которой располагаем катушку с намотанной на неё нитью. Конец нити крепим с помощью воткнутой в брусок булавки у верхнего края наклонённого бруска. Рассмотрим два способа определения \(\mu\) — см. рис. 127 и 128. Для большей устойчивости катушки нить должна быть протянута через её середину.

Пока катушка покоится, сумма внешних сил, действующих на неё, и сумма моментов этих сил равны нулю: \[m\vec g + \vec T + \vec N + \vec F_{\text{тр}} = 0 \tag{1}\] и \[F_{\text{тр}}R = Tr. \tag{2}\] В проекциях на координатные оси уравнение (1) примет вид: \[N = mg\cos\alpha\ \text{ и }\ F_{\text{тр}} = \pm(T - mg\sin\alpha)\] (здесь знак «\(+\)» относится к рис. 127, а «\(-\)» — к рис. 128).

По определению, \[F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg\cos\alpha.\]

Рис. 127

Для первого способа определения \(\mu\). \[\mu mg\cos\alpha\cdot R = T\cdot r;\quad mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha = T\] или, исключая \(T\), \[mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha = \dfrac{\mu mg}{r}\cos\alpha\cdot R.\] Отсюда \(\operatorname{tg}\alpha + \mu = \dfrac{\mu R}{r}\) или \(\mu = \dfrac{r\operatorname{tg}\alpha}{R - r}\). Так как \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{h}{\sqrt{L^2 - h^2}}\), где \(L\) — длина бруска, окончательно \(\mu = \dfrac{h}{\sqrt{L^2 - h^2}}\dfrac{r}{R - r}\). Подставляя значения, получаем \(\mu\).

Рассмотрим второй способ (рис. 128).

Рис. 128 \[\mu mg\cos\alpha\cdot R = T\cdot r,\quad mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha = T.\] или исключая \(T\), \[mg\sin\alpha - \mu\,mg\cos\alpha = \dfrac{\mu mg}{r}\cos\alpha\cdot R.\] Отсюда \(\operatorname{tg}\alpha - \mu = \dfrac{\mu R}{r}\) или \(\mu = \dfrac{r\operatorname{tg}\alpha}{R + r}\).

Окончательно имеем \(\mu = \dfrac{h}{\sqrt{L^2 - h^2}}\dfrac{r}{R + r}\). Подставляя значения, находим \(\mu\).