Сопротивление по осциллографу

Собираем схему, показанную на рисунке 117.

Рис. 117

Здесь \(X\) означает гнездо выхода генератора пилообразного напряжения. Благодаря пропорциональности напряжений по осям \(X\) и \(Y\) для каждого из двух положений переключателя 1 и 2 на экране осциллографа получаем линейный сигнал. При этом наблюдается один период пилообразного напряжения генератора развёртки. Используя закон Ома для каждого из двух случаев и исключая силу тока (которую можно полагать независящей от положения ключа из-за большого входного сопротивления осциллографа), находим \[R = \dfrac{R_1}{\dfrac{U_1}{U_2} - 1}, \tag{1}\] где отношение \(\dfrac{U_1}{U_2}\) определяется из сравнения сигналов, как отношение тангенсов углов их наклона.

Минимизация относительной погрешности будет достигнута (путём подбора \(R_1\)) при условии, что \[\dfrac{U_1}{U_2} = 1 + \sqrt{2}. \tag{2}\] Для получения этого результата найдём \(\Delta R/R\), полагая погрешность измерения \(R_1\) равной нулю. Имеем

\[\dfrac{\Delta R}{R} = \dfrac{\Delta\left(\dfrac{U_1}{U_2}\right)}{\dfrac{U_1}{U_2} - 1} \ll \delta\,\dfrac{U_2 + U_1}{U_2U_1 - U_2^2}, \tag{3}\] где \(\delta = \Delta U_1 = \Delta U_2\) — абсолютная погрешность измерения \(U_1\) и \(U_2\) (в условных единицах), равная половине деления шкалы осциллографа. Представляя выражение (3) в виде произведения \(\delta/U_1\) (заметим, что \(\delta/U_1 < \delta/U_2\)) на функцию \[x\,\dfrac{1 + x}{x - 1}\quad (x = U_1/U_2),\] находим минимальное значение последней, которое совпадает с правой частью (2). Меняя \(R_1\), добиваемся того, чтобы отношение \(U_1/U_2\) равнялось \(1 + \sqrt{2}\). При этом сопротивление \(R = R_1/\sqrt{2}\) будет определено с минимальной относительной погрешностью.

Контрольные измерения проводились для осциллографа С1-93 (тогда величина \(\delta/U_1\), которую можно считать постоянной, равна \(1/80\)). Результаты измерений при различных значениях известного сопротивления \(R_1\) представлены в таблице. Относительная погрешность рассчитывалась по формуле (3).