Неидеальный газ

Подумайте, как ведёт себя вещество, если молекулы перестают притягиваться, и какой газ тогда получается при той же плотности.

Для части 1 используйте закон сохранения внутренней энергии (3) при расширении без работы. Для части 2 запишите первый закон термодинамики для всей порции газа с учетом работы поршней, газ охлаждается, если \(T_2<T_1\).

Часть 1. Адиабатическое расширение «в пустоту».

1.1 Так как при расширении в пустоту газ работы не совершает, и теплообмен отсутствует, то внутренняя энергия остается постоянной. Поэтому \[C_VT_0-\frac{a}{V_0}=C_VT_1-\frac{a}{V}.\qquad (1)\] Из этого уравнения находим изменение температуры газа \[T_1-T_0=\frac{a}{C_V}\left(\frac{1}{V}-\frac{1}{V_0}\right).\qquad (2)\] Если газ идеальный, то \(a=0\), поэтому температура газа изменяться не будет \(\Delta T=0\). Для газа Ван-дер-Ваальса изменение температуры определяется формулой (2). Так как газ расширяется (\(V>V_0\)), то температура газа будет уменьшаться.

1.2 Для численного расчета изменения температуры необходимо знать объемы газов до и после расширения. Т.е. выразить объем газа через его температуру и давление. Для этого следует решить уравнение \[P=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^2}.\qquad (3)\] Относительно величины \(V\) это уравнение является уравнением третьей степени, решение которого затруднительно. Оценим, можно ли при расчете объема пренебречь поправками Ван-дер-Ваальса. Так как начальное давление задано с точностью до 2 значащих цифр, то погрешность этого значения составляет величину порядка 5

Рассчитаем значение объема газа, если считать его идеальным. В этом случае \[V_0=\frac{RT_0}{P_0}=2{,}5\cdot10^{-3}\ \frac{\text{м}^3}{\text{моль}}.\qquad (4)\] Отношение для кислорода \(\dfrac{b}{V_0}\approx1{,}3\cdot10^{-2}\) (для водорода еще меньше), поэтому поправкой \(b\) можно пренебречь. Аналогично оценим второе слагаемое в уравнении (3): \(\delta P=\dfrac{a}{V_0^2}\approx2\cdot10^4\) Па, относительно давления газа эта величина составляет примерно \(\dfrac{\delta P}{P_0}\approx0{,}02\), что также меньше допустимой погрешности расчетов, поэтому и этой поправкой можно пренебречь. После расширения численные величины поправок будут вносить еще меньший вклад, поэтому ими также можно пренебречь. Подставим формулу для объема (4) в выражение (2): \[T_1-T_0=\frac{a}{C_V}\left(\frac{1}{V}-\frac{1}{V_0}\right)=\frac{a}{C_V}\left(\frac{P_1}{RT_1}-\frac{P_0}{RT_0}\right).\qquad (5)\] В этом выражении второе слагаемое превышает первое примерно в 10 раз, поэтому изменение температуры можно оценить, пренебрегая первым слагаемым, эта оценка дает следующее значение \[T_1-T_0\approx\frac{a}{C_V}\left(\frac{P_1}{RT_1}-\frac{P_0}{RT_0}\right)\approx-\frac{a}{C_VV_0}\approx3\ \text{К}.\qquad (6)\] Таким образом, \(\dfrac{\Delta T}{T_0}\approx0{,}01\), поэтому в левой части формулы (5) можно положить \(T_1=T_0\), тогда окончательно получим \[T_1-T_0\approx\frac{a}{C_V}\left(\frac{P_1}{RT_0}-\frac{P_0}{RT_0}\right)\approx-\frac{a}{C_VRT_0}\left(P_0-P_1\right).\qquad (7)\] Численные расчеты дают следующие значения: для кислорода \(\Delta T=-2{,}4\) К;   (8) для водорода \(\Delta T=-0{,}43\) К.   (9)

Часть 2. Дросселирование.

2.1 В соответствии с первым законом термодинамики изменение внутренней энергии газа равно разности работы, совершенной поршнем П1 над газом \(A_1=P_1V_1\) и работы, совершенной газом над поршнем П2 \(A_2=P_2V_2\): \[U_2-U_1=P_1V_1-P_2V_2.\qquad (10)\] После перегородки газ подчиняется уравнению состояния идеального газа, поэтому \[P_2V_2=RT_2,\qquad U_2=C_VT_2.\qquad (11)\] Также используем выражение для внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса. Тогда уравнение (10) принимает вид \[C_VT_2-\left(C_VT_1-\frac{a}{V_1}\right)=P_1V_1-RT_2.\qquad (12)\] Из уравнения Ван-дер-Ваальса получим \[P_1V_1=RT_1\frac{V_1}{V_1-b}-\frac{a}{V_1}.\qquad (13)\] И продолжим преобразования формулы (12): \[\left(C_V+R\right)T_2-C_VT_1-RT_1=RT_1\frac{V_1}{V_1-b}-RT_1-\frac{2a}{V_1}\ \Rightarrow\ \left(C_V+R\right)\left(T_2-T_1\right)=RT_1\frac{b}{V_1-b}-\frac{2a}{V_1}.\qquad (14)\] Окончательно находим требуемую формулу для изменения температуры \[T_2-T_1=\frac{1}{C_V+R}\left(\frac{RT_1\,b}{V_1-b}-\frac{2a}{V_1}\right).\qquad (15)\]

2.2 Газ охлаждается, если \(T_2<T_1\), что выполняется, если \[RT_1\frac{b}{V_1-b}-\frac{2a}{V_1}<0.\qquad (16)\] Или при \[T_1<\frac{2a}{Rb}\left(1-\frac{b}{V_1}\right).\qquad (17)\] Эта температура будет максимальна, если \(V_1\gg b\). В этом случае \[T_{1\max}<\frac{2a}{Rb}.\qquad (18)\]

2.3 Подстановка численных значений дает следующие результаты: для кислорода \(T_{1\max}=1{,}0\cdot10^3\) К; для водорода \(T_{1\max}=2{,}2\cdot10^2\) К.

Обратите внимание, кислород в ходе дросселирования начинает охлаждаться при комнатной температуре, для охлаждения водорода при дросселировании его предварительно необходимо охладить до температуры порядка \(-100\ ^\circ C\).

Сравните объем газа с суммарным собственным объемом молекул в плотной упаковке при очень сильном сжатии.

Запишите условие равновесия поршня в каждом состоянии и учтите, что температура постоянна.

Вопрос. Для справедливости модели идеального газа необходимо, чтобы расстояние между молекулами было много больше размеров самих молекул, а среднее значение потенциальной энергии их взаимодействия много меньше среднего значения их кинетической энергии. Расстояние между молекулами (и потенциальная энергия) определяются плотностью газа, а кинетическая энергия — его температурой. Поэтому плотность газа должна быть значительно (на три и более порядка) меньше плотности соответствующей жидкости, а температура не должна быть слишком низкой (не приближаться к «абсолютному нулю») и не слишком высокой (не должны играть роль процессы ионизации).

Задача. В каждом из равновесных состояний давление гелия \(p_{1,2,3}\) уравновешивает вес поршня массой \(m_0\), вес дроби и внешнее давление \(p_0\): \[p_1 S = m_0 g + p_0 S, \quad p_2 S = (m_0 + m) g + p_0 S, \quad p_3 S = \left(m_0 + \frac{2m}{3}\right) g + p_0 S.\] Температура неизменна, поэтому давления обратно пропорциональны объёмам: \(\dfrac{h_0}{h_1} = \dfrac{p_2}{p_1}\), откуда \(\dfrac{mg}{p_1 S} = \dfrac{h_0}{h_1} - 1\). Для конечной высоты \(h\) справедливо \(\dfrac{h_1}{h} = \dfrac{p_3}{p_2}\); подставляя выражения для давлений, получаем \[h = \frac{3h_0h_1}{h_1 + 2h_0} = 27~\text{см}.\]