Брусок на столе и растянутый жгут (вариант 4)

Брусок начнёт скользить, когда сила трения покоя достигнет максимума \(\mu N\). Запишите второй закон Ньютона для бруска во вращающейся системе отсчёта и проверьте знак найденной силы натяжения жгута.

Жгут может прийти в движение относительно стола только если по столу заскользит брусок. Поэтому нам нужно определить условие соскальзывания именно бруска. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси, изображённые на рисунке. При этом учтём, что, поскольку речь идёт о максимальном растяжении жгута, то и сила трения определяется по формуле максимальной силы трения покоя: \[X\colon\ \mu N + T\sin\alpha = m\omega^2r, \qquad Y\colon\ N + T\cos\alpha - mg = 0.\] Выражая \(N\) из второго уравнения и подставляя в первое, после несложных преобразований получаем \[T = \frac{m(\mu g - \omega^2r)}{\mu\cos\alpha - \sin\alpha}.\] Полученное соотношение, однако, нельзя считать окончательной формулой, определяющей силу натяжения жгута. Дело в том, что в нём мы определили именно модуль силы, в то же время, если посмотреть на правую часть, видно, что в принципе она может быть отрицательной. Тут-то и пригождается условие, наложенное на коэффициент трения, а также информация о раскручивании с провисающей нитью. Действительно, из условия \(\mu > \mathrm{tg}\,\alpha\) следует, что \(\mu\cos\alpha > \sin\alpha\). Далее, из того, что при провисающей нити брусок не заскользит, следует, что \(\mu g > \omega^2r\). Только теперь мы можем быть уверены в том, что \(T > 0\).

Наконец, согласно закону Гука, \(T = k\,\Delta L\). Стало быть, \[\Delta L = \frac{m(\mu g - \omega^2r)}{k(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)}.\]