Сложность 1–10 — наша примерная оценка: 1–2 — одна формула, 3–4 — несколько шагов по стандартной схеме, 5–6 — нужна идея, известная олимпиаднику, 7–8 — нестандартная идея или длинное решение, 9–10 — самые трудные задачи финалов.
Шкала Реомюра
В 1730 году французским естествоиспытателем Р.А. Реомюром была предложена шкала температур, по которой температуры замерзания и кипения воды были приняты 0 и 80 градусов соответственно. На фотографии можно видеть пример показаний ртутного термометра со шкалой Реомюра.
Запишите значение температуры, соответствующие этой фотографии, в градусах Реомюра. Ответ округлите до целого числа.
Переведите это значение температуры в градусы по шкале Цельсия. Ответ округлите до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСначала определите цену деления шкалы и снимите показание по верхнему краю ртутного столбика. Затем найдите, скольким градусам Цельсия соответствует один градус Реомюра.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) 19; 2) 24.
Шкалы Цельсия и Фаренгейта
Школьница Алиса проводит опыты с термометром, на который нанесены две шкалы — шкала Цельсия и шкала Фаренгейта. Сравнивая шкалы, Алиса заметила, что увеличению температуры на 5 градусов Цельсия соответствует увеличение температуры на 9 градусов Фаренгейта. При этом комнатная температура составила 20 градусов Цельсия (20 \(^\circ\)C), или 68 градусов Фаренгейта (68 \(^\circ\)F). Запишите формулу, выражающую температуру по шкале Фаренгейта \(t_F\) через температуру по шкале Цельсия \(t_C\). Какой температуре по шкале Фаренгейта соответствует температура плавления льда 0 \(^\circ\)C? Температура кипения воды 100 \(^\circ\)C? Абсолютный нуль \(-273\) \(^\circ\)C?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЕсли температура растёт на \(\Delta t_C\) градусов Цельсия, то по Фаренгейту она растёт в \(9/5\) раза сильнее. Отсчитывай изменение от известной точки 20 \(^\circ\)C \(=\) 68 \(^\circ\)F.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(t_F = 68 + 1{,}8\,(t_C - 20) = 32 + 1{,}8\,t_C\). Температура плавления льда соответствует значению 32 \(^\circ\)F, температура кипения воды — 212 \(^\circ\)F, температура \(-273\) \(^\circ\)C — \(-459{,}4\) \(^\circ\)F.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПо условию, при увеличении температуры в градусах Цельсия с 20 \(^\circ\)C до \(t_C\) \(^\circ\)C, то есть на \((t_C - 20)\) \(^\circ\)C, температура по шкале Фаренгейта увеличивается на \(\frac{9}{5}(t_C - 20)\) \(^\circ\)F. Следовательно, \[t_F = 68 + 1{,}8\,(t_C - 20) = 32 + 1{,}8\,t_C.\] В частности, температура плавления льда соответствует значению 32 \(^\circ\)F, температура кипения воды — значению 212 \(^\circ\)F, температура \(-273\) \(^\circ\)C — значению \(-459{,}4\) \(^\circ\)F.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
График шкал Цельсия и Фаренгейта
Школьница Алиса проводит опыты с термометром, на который нанесены две шкалы — шкала Цельсия и шкала Фаренгейта. Сравнивая шкалы, Алиса заметила, что 20 градусов Цельсия (20 °C) соответствуют 68 градусам Фаренгейта (68 °F), а 40 градусов Цельсия (40 °C) — 104 градусам Фаренгейта (104 °F). Постройте график зависимости температуры по шкале Фаренгейта \(t_F\) от температуры по шкале Цельсия \(t_C\), зная, что он является прямой линией. Запишите формулу, выражающую температуру по шкале Фаренгейта \(t_F\) через температуру по шкале Цельсия \(t_C\). Какой температуре по шкале Фаренгейта соответствует температура плавления льда 0 °C? Температура кипения воды 100 °C? Абсолютный нуль \(-273\) °C?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПрямая задаётся уравнением \(t_F - 68 = k\,(t_C - 20)\); коэффициент \(k\) найдите по второй известной точке.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(t_F = 68 + 1{,}8\,(t_C - 20) = 32 + 1{,}8\,t_C\). Температура плавления льда соответствует значению 32 °F, температура кипения воды — значению 212 °F, температура \(-273\) °C — значению \(-459{,}4\) °F.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеГрафик зависимости температуры по Фаренгейту от температуры по Цельсию приведён на рисунке.
Уравнение прямой, проходящей через точку \((t_C = 20;\ t_F = 68)\), можно записать как \(t_F - 68 = k\cdot(t_C - 20)\), где \(k\) — некоторый коэффициент. Поскольку данная прямая должна проходить также через точку \((t_C = 40;\ t_F = 104)\), имеем: \(104 - 68 = k\cdot(40 - 20)\) и \(k = 1{,}8\). Следовательно, \[t_F = 68 + 1{,}8\cdot(t_C - 20) = 32 + 1{,}8\,t_C.\] В частности, температура плавления льда соответствует значению 32 °F, температура кипения воды — значению 212 °F, температура \(-273\) °C — значению \(-459{,}4\) °F.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Шкала Фаренгейта
В 1724 г. Г. Фаренгейт предложил шкалу температур, в которой нулю градусов соответствует температура замерзания смеси льда и соли, взятых в равных количествах. В градусах Цельсия эта температура \(-17{,}8\,^\circ\text{C}\). 100 градусов шкалы Фаренгейта соответствуют температуре \(37{,}8\,^\circ\text{C}\). При какой температуре в шкале Фаренгейта кипит вода при атмосферном давлении (\(100\,^\circ\text{C}\))?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите, сколько градусов Цельсия содержит один градус Фаренгейта, и отсчитайте от нуля шкалы Фаренгейта до точки кипения воды.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(t = 212\,^\circ\text{F}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеСвязь градусов Цельсия и Фаренгейта найдём из очевидного равенства \[1\,^\circ\text{F} = \frac{37{,}8 + 17{,}8}{100}\,^\circ\text{C} = 0{,}556\,^\circ\text{C}.\] Интервал температур между нулём шкалы Фаренгейта и температурой кипения воды в градусах Цельсия: \[t = 100\,^\circ\text{C} + 17{,}8\,^\circ\text{C} = 117{,}8\,^\circ\text{C}.\] Поэтому температура кипения воды в градусах Фаренгейта: \[t = \frac{117{,}8\,^\circ\text{C}}{0{,}556\,^\circ\text{C}}\cdot 1\,^\circ\text{F} = 212\,^\circ\text{F}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Термометр Фаренгейта
На рисунке изображён уличный термометр с двумя шкалами: Цельсия (внутри) и Фаренгейта (снаружи). Ноль по шкале Фаренгейта определялся как температура смеси воды, льда и хлорида аммония (соответствует примерно \(-17{,}8\) °C), а \(+98\) °F соответствовало температуре тела здорового человека (измеряемой во рту). Пользуясь этим рисунком, определите, при какой температуре в градусах Фаренгейта кипит вода (при нормальном атмосферном давлении). Опишите в решении, как именно температура кипения воды определялась с использованием данного рисунка. Температуру кипения воды по шкале Цельсия (\(+100\) °C) считайте известной. Ответ можно дать приближённо, округлив до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСвязь шкал линейна: \(t_F = k\,t_C + b\). Найдите по рисунку, чему соответствует \(0\,°\text{C}\) и сколько градусов Фаренгейта в одном градусе Цельсия.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветВода кипит при температуре \(\approx 215\,°\text{F}\).
Температурные шкалы
На фотографии изображены четыре температурные шкалы: Фаренгейта (F), Цельсия ℃, Реомюра (R) и Кельвина (K).
У какой шкалы наименьшая цена деления?
А) На шкале Фаренгейта
Б) На шкале Цельсия
В) На шкале Реомюра
Г) На шкале Кельвина
В таблице указаны изменения температуры тела в процессе нагрева, который длился 4 часа.
Насколько повысилась температура тела за 4 часа? Ответ выразите в градусах по шкале Фаренгейта (F), округлите до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравните, на сколько делений каждой шкалы приходится один и тот же интервал температур, например от замерзания до кипения воды; изменения температуры можно складывать, переведя их в одну шкалу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) А; 2) 451 F.
Нагрев спирта: пинты и шкалы температур
Какое количество теплоты (в джоулях) нужно чтобы нагреть 1 пинту этилового спирта от температуры \(68^\circ\)F (градусы Фаренгейта) до температуры \(52^\circ\)Re (градусы Реомюра). Удельная теплоемкость спирта \(c = 5{,}823\cdot10^2\) кал/(кг\(\cdot^\circ\)C). Плотность этилового спирта при температуре \(68^\circ\)F — \(\rho = 0{,}7927\) г/см\(^3\). 1 пинта = 0,5683 л, 1 калория = 4,187 Дж, шкалы измерения температуры Фаренгейта и Реомюра линейны и связаны со шкалой Цельсия в соответствии с таблицей.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(Q = 49{,}4\cdot10^3\) Дж.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеДля нагрева массы спирта \(m\) на \(\Delta T\) нужно количество теплоты \[Q = cm\Delta T = c\rho V\Delta T,\] где \(c\) — удельная теплоемкость спирта, \(\rho\) — плотность спирта, \(V\) — его объем. Подставляя в эту формулу данные в условии величины и переводя все размерности в систему СИ, получаем \[Q = 5{,}823\cdot10^2\cdot4{,}187\,(\text{Дж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)})\cdot792{,}7\,(\text{кг/м}^3)\cdot1\cdot0{,}5683\cdot10^{-3}\,(\text{м}^3)\times\left(52\cdot1{,}25\,({}^\circ\text{C}) - (68-32)\cdot0{,}5555\,({}^\circ\text{C})\right)\] Отсюда \[Q = 49{,}4\cdot10^3\text{ Дж}\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Три термометра
В одном помещении находятся три термометра с разными шкалами: Цельсия, Фаренгейта и Реомюра. В тот момент, когда термометр со шкалой Цельсия показывал \(20{,}0\) ℃, термометры со шкалами Фаренгейта и Реомюра показывали \(68{,}0\) °F и \(16{,}0\) °Re соответственно. При понижении температуры на \(5{,}0\) ℃ показания термометров со шкалами Фаренгейта и Реомюра изменились и стали равными \(59{,}0\) °F и \(12{,}0\) °Re.
Какая температура выражается одним числом градусов как по Фаренгейту, так и по Реомюру? Ответ выразите в градусах по шкале Фаренгейта или Реомюра, округлите до десятых.
Что показывает при этой температуре термометр со шкалой Цельсия? Ответ округлите до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКаждая шкала связана с градусами Цельсия линейной зависимостью. Найдите коэффициенты по двум данным измерениям.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(25{,}6\); 2) \(-32\) ℃.
Бракованный термометр
Колбочка в нижней части спиртового термометра, изображенного на рисунке, соединена с трубочкой. Колбочка и часть трубочки заполнены подкрашенным спиртом. Работа термометра основана на явлении теплового расширения тел при нагревании. Если при некоторой температуре \(t_0\) объём спирта равен \(V_0\), то при другой температуре \(t\) объём спирта даётся формулой \(V = V_0(1 + k(t - t_0))\), где \(k\) "— коэффициент, который в условиях задачи можно считать постоянным и равным \(0{,}001\) обратных градусов Цельсия. Однажды на заводе был изготовлен бракованный термометр, в котором масса спирта составляла 98 % от той массы, которая должна быть в исправном термометре. Из-за этого бракованный термометр показывает заниженную температуру.
Какова истинная температура в комнате, если бракованный термометр показывает \(0\,^\circ\)C? Какими будут показания бракованного термометра, если температура в комнате опустится до \(0\,^\circ\)C?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри одной и той же температуре объём спирта в исправном термометре на 2 % больше, чем в бракованном. Одному и тому же делению шкалы соответствует один и тот же объём спирта.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(t_1 = 20{,}2\,^\circ\text{C} \pm 0{,}2\,^\circ\text{C}\), \(t_2 = -20{,}2\,^\circ\text{C} \pm 0{,}2\,^\circ\text{C}\).
Температура воды в стаканах и масса кубика льда
Имеется два стакана с водой, четыре одинаковых кубика льда, спиртовка и градусник с самодельной неподписанной шкалой. Также имеется шесть разноцветных наклеек, которые можно закреплять на градуснике. Объём воды в первом стакане равен \(209\) см\(^3\), во втором \(183\) см\(^3\). Определите температуру воды в каждом из стаканов, а также массу одного кубика льда. Ответы вводите с точностью не хуже чем до десятых. Плотность воды считайте равной \(1\) г/см\(^3\), удельная теплота плавления льда равна \(335\) кДж/кг, теплоёмкость воды равна \(4200\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C). Начальная температура льда равна \(0\) \(^\circ\)C.
Время в модельном эксперименте ускорено, чтобы не приходилось ждать слишком долго, а происходящие процессы изображаются идеализированно — можно пренебречь теплоёмкостью стаканов и обменом тепла между водой и окружающей средой во всех случаях, кроме того, когда стакан с водой находится на спиртовке. Градусник зажимается лапкой штатива, если поднести его сбоку на небольшую глубину внутрь лапки и отпустить. Проносить градусник или кубики сквозь стекло нельзя. Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, после чего щелчок мышью в любом месте экрана возвращает первоначальный масштаб.
Температура воды в стаканах и масса кубика льда
Имеется два стакана с водой, четыре одинаковых кубика льда, спиртовка и градусник с самодельной неподписанной шкалой. Также имеется шесть разноцветных наклеек, которые можно закреплять на градуснике. Объём воды в первом стакане равен \(205\) см\(^3\), во втором \(222\) см\(^3\). Определите температуру воды в каждом из стаканов, а также массу одного кубика льда. Ответы вводите с точностью не хуже чем до десятых. Плотность воды считайте равной \(1\) г/см\(^3\), удельная теплота плавления льда равна \(335\) кДж/кг, теплоёмкость воды равна \(4200\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C). Начальная температура льда равна \(0\) \(^\circ\)C.
Время в модельном эксперименте ускорено, чтобы не приходилось ждать слишком долго, а происходящие процессы изображаются идеализированно — можно пренебречь теплоёмкостью стаканов и обменом тепла между водой и окружающей средой во всех случаях, кроме того, когда стакан с водой находится на спиртовке. Градусник зажимается лапкой штатива, если поднести его сбоку на небольшую глубину внутрь лапки и отпустить. Проносить градусник или кубики сквозь стекло нельзя. Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, после чего щелчок мышью в любом месте экрана возвращает первоначальный масштаб.
Снег на неизвестной планете
В земной лаборатории моделируется снег на другой планете. Он всё время падает с одной и той же скоростью. В конический стакан №1 налита вода с плотностью \(1\) г/см\(^3\), на её поверхности плавает мелкий водяной лёд (водяной снег). Давление атмосферное. Нерастаявший снег может плавать на поверхности жидкости, сквозь него можно опускать в стакан градусник и пипетку. Градусник с неизвестной температурной шкалой. Найдите:
Температуру \(t_1\) снега.
Температуру \(t_2\) плавления снега.
Плотность \(\rho_1\) снега, если его набрать в стакан.
Удельную теплоёмкость \(C\) жидкости, в которую превращается снег после таяния.
Значения плотности найдите с точностью до тысячных, температуру — с точностью до половины градуса Цельсия, теплоёмкость — с точностью не менее \(5\%\). Удельная теплоёмкость воды \(4183\) Дж/(кг·град). Теплообменом с воздухом и теплоёмкостью стаканов можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаГрадусник с неизвестной шкалой удобно калибровать по двум точкам, где фазовый переход идёт при постоянной температуре; из уравнения теплового баланса при таянии снега найдите теплоёмкость.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(t_1 = -18{,}5 \pm 1\) °C; 2) \(t_2 = -6{,}5 \pm 1\) °C; 3) \(\rho_1 = 0{,}74 \pm 0{,}01\) г/см\(^3\); 4) \(C = 1848 \pm 120\) Дж/(кг·град).
Снег на неизвестной планете
В земной лаборатории моделируется снег на другой планете. Он всё время падает с одной и той же скоростью. В конический стакан №1 налита вода с плотностью \(1\) г/см\(^3\), на её поверхности плавает мелкий водяной лёд (водяной снег). Давление атмосферное. Нерастаявший снег может плавать на поверхности жидкости, сквозь него можно опускать в стакан градусник и пипетку. Градусник с неизвестной температурной шкалой. Найдите:
Температуру \(t_1\) снега.
Температуру \(t_2\) плавления снега.
Плотность \(\rho_1\) снега, если его набрать в стакан.
Удельную теплоёмкость \(C\) жидкости, в которую превращается снег после таяния.
Значения плотности найдите с точностью до тысячных, температуру — с точностью до половины градуса Цельсия, теплоёмкость — с точностью не менее \(5\%\). Удельная теплоёмкость воды \(4183\) Дж/(кг·град). Теплообменом с воздухом и теплоёмкостью стаканов можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаГрадусник с неизвестной шкалой удобно калибровать по двум точкам, где фазовый переход идёт при постоянной температуре; из уравнения теплового баланса при таянии снега найдите теплоёмкость.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(t_1 = -18{,}5 \pm 1\) °C; 2) \(t_2 = -6{,}5 \pm 1\) °C; 3) \(\rho_1 = 0{,}74 \pm 0{,}01\) г/см\(^3\); 4) \(C = 1848 \pm 120\) Дж/(кг·град).
Снег на неизвестной планете
В земной лаборатории моделируется снег на другой планете. Он всё время падает с одной и той же скоростью. В конический стакан №1 налита вода с плотностью \(1\) г/см\(^3\), на её поверхности плавает мелкий водяной лёд (водяной снег). Давление атмосферное. Нерастаявший снег может плавать на поверхности жидкости, сквозь него можно опускать в стакан градусник и пипетку. Градусник с неизвестной температурной шкалой.
Найдите:
Температуру \(t_1\) снега.
Температуру \(t_2\) плавления снега.
Плотность \(\rho_1\) снега, если его набрать в стакан.
Удельную теплоёмкость \(C\) жидкости, в которую превращается снег после таяния.
Значения плотности найдите с точностью до тысячных, температуру — с точностью до половины градуса Цельсия, теплоёмкость — с точностью не менее \(5\%\). Удельная теплоёмкость воды \(4183\) Дж/(кг·град). Теплообменом с воздухом и теплоёмкостью стаканов можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСнег и лёд в стакане переходят в воду с известной массой; уравнение теплового баланса при таянии связывает температуру, теплоту плавления и теплоёмкость. Для температуры плавления ищите точку, где таяние идёт без изменения температуры.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(t_1 = -18{,}5 \pm 1\) °C; 2) \(t_2 = -6{,}5 \pm 1\) °C; 3) \(\rho_1 = 0{,}74 \pm 0{,}01\) г/см\(^3\); 4) \(C = 1848 \pm 120\) Дж/(кг·град).