Задачи › Насыщенный пар

Вариант 1. Два сосуда с аргоном и водой

  1. Вариант 1. Два сосуда с аргоном и водой

    СПбГУ 2021/22, 10 кл.
    7/10

    Два одинаковых цилиндрических запаянных сосуда герметично соединены у дна тонкой перемычкой. В перемычку встроен кран-натекатель, который изначально закрыт. Один из сосудов полностью заполнен водой, другой — аргоном при давлении \(p_{\text{Ar}}\). В заполненном аргоном сосуде установлен манометр, позволяющий измерять давление газа в сосуде. Кран открывают, вода начинает медленно перетекать. После установления равновесия манометр показывал давление, в \(n\) раз большее начального. Определите высоту сосудов. Температура в сосудах остаётся постоянной. Ускорение свободного падения, плотность воды, плотность и давление насыщенных паров воды при данной температуре считайте известными. Растворением аргона в воде пренебречь.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Со свободной поверхности воды идёт испарение, поэтому в конце в обоих сосудах есть насыщенный пар. Давление в перемычке сравнивайте с обеих сторон, а для аргона используйте изотермичность.

    Ответ

    \(H = \dfrac{(np_{\text{Ar}} - p_{\text{пар}})(\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{п}})}{\rho_{\text{в}}\,g\,(\rho_{\text{в}} - 2\rho_{\text{п}})\left[1 - 2\,\dfrac{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{п}}}{\rho_{\text{в}} - 2\rho_{\text{п}}}\left(1 - \dfrac{p_{\text{Ar}}}{np_{\text{Ar}} - p_{\text{пар}}}\right)\right]}\), где \(\rho_{\text{п}}\) — плотность пара, \(p_{\text{пар}}\) — давление насыщенного пара; при \(\rho_{\text{п}} \ll \rho_{\text{в}}\) приближённо \(H \approx \dfrac{np_{\text{Ar}} - p_{\text{пар}}}{\rho_{\text{в}} g\left[1 - 2\left(1 - \dfrac{p_{\text{Ar}}}{np_{\text{Ar}} - p_{\text{пар}}}\right)\right]}\).

    Решение

    Пусть \(h_1'\) и \(h_2'\) — конечные высоты столбов воды в левом и правом сосудах, \(H\) — высота сосуда. Изотермичность для аргона: \(p_{\text{Ar}} H = p_{\text{Ar}}'(H - h_1')\), а манометр показывает \(p_{\text{Ar}}' + p_{\text{пар}} = np_{\text{Ar}}\). Отсюда \(h_1' = H\left(1 - \dfrac{p_{\text{Ar}}}{np_{\text{Ar}} - p_{\text{пар}}}\right)\).

    Равенство давлений в перемычке: \(\rho_{\text{в}} g h_1' + np_{\text{Ar}} = \rho_{\text{в}} g h_2' + p_{\text{пар}}\), откуда \(h_2' = h_1' + \dfrac{np_{\text{Ar}} - p_{\text{пар}}}{\rho_{\text{в}} g}\).

    Сохранение числа молекул воды (жидкость и пар в конце): \(\rho_{\text{в}} H = \rho_{\text{в}}(h_1' + h_2') + \rho_{\text{п}}(2H - h_1' - h_2')\). Подставляя \(h_1'\) и \(h_2'\) и решая относительно \(H\), получаем ответ.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх