Задачи › Сосуды с поршнями, газ и пружина

Вариант 2. Аргон, вода и поршень

  1. Вариант 2. Аргон, вода и поршень

    СПбГУ 2021/22, 10 кл.
    7/10

    Два одинаковых цилиндрических сосуда герметично соединены у дна тонкой перемычкой и расположены в камере, в которой поддерживается постоянное давление \(p_0\). В перемычку встроен кран-натекатель, который изначально закрыт. Один из сосудов запаян и полностью заполнен аргоном, другой заполнен водой и закрыт подвижным невесомым поршнем, двигающимся без трения. В заполненном аргоном сосуде установлен манометр, позволяющий измерять давление газа в сосуде. Кран открывают, вода начинает медленно перетекать. После установления равновесия манометр показывал давление, в \(n\) раз большее начального. Определите высоту запаянного сосуда. Температура в сосудах остаётся постоянной. Ускорение свободного падения, плотность воды, плотность и давление насыщенных паров воды при данной температуре считайте известными. Растворением аргона в воде пренебречь.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Учтите, что в запаянном сосуде испаряется вода, и в конце там аргон и насыщенный пар. Давление в перемычке с одной стороны складывается из давления аргона и пара, с другой — из давления столба воды и внешнего давления \(p_0\) через поршень.

    Ответ

    \(H = \dfrac{np_{\text{Ar}} - p_0}{g(\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{п}})}\left[1 - \left(1 - \dfrac{p_{\text{Ar}}}{np_{\text{Ar}} - p_{\text{пар}}}\right)\left(1 + \dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{п}}}\right)\right]^{-1}\), где \(p_{\text{Ar}}\) — начальное давление аргона; при \(\rho_{\text{п}} \ll \rho_{\text{в}}\) приближённо \(H \approx \dfrac{np_{\text{Ar}} - p_0}{g\rho_{\text{в}}}\left[1 - 2\left(1 - \dfrac{p_{\text{Ar}}}{np_{\text{Ar}} - p_{\text{пар}}}\right)\right]^{-1}\).

    Решение

    Пусть \(h_1'\) и \(h_2'\) — конечные высоты столбов воды в запаянном и открытом с поршнем сосудах. Изотермичность аргона и условие манометра дают \(h_1' = H\left(1 - \dfrac{p_{\text{Ar}}}{np_{\text{Ar}} - p_{\text{пар}}}\right)\). Равенство давлений в перемычке: \(\rho_{\text{в}} g h_1' + np_{\text{Ar}} = \rho_{\text{в}} g h_2' + p_0\), откуда \(h_2' = h_1' + \dfrac{np_{\text{Ar}} - p_0}{\rho_{\text{в}} g}\).

    Число молекул воды постоянно: \(\rho_{\text{в}} H = \rho_{\text{в}}(h_1' + h_2') + \rho_{\text{п}}(H - h_1')\). Подставляя \(h_1'\) и \(h_2'\), получаем ответ.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх