Задачи › Равноускоренное движение

Вариант 1. Катер и дерево на канале

  1. Вариант 1. Катер и дерево на канале

    СПбГУ 2021/22, 10 кл.
    6/10

    Из города \(A\) в город \(B\) можно добраться по соединяющему их речному каналу за время \(t_{\text{пл}}\), если плыть на плоту. Из города \(A\) отчаливает катер и направляется в город \(B\). Для наиболее быстрого прохождения маршрута капитан сразу же включает мотор, позволяющий катеру двигаться с постоянным ускорением. Кроме того, капитан знает, что для того, чтобы остановиться с нулевой скоростью у причала рядом с городом \(B\), ему надо единожды поменять направление тяги мотора на противоположное (модуль ускорения катера при этом не меняется) и сделать это около определённого дерева, растущего на берегу канала. Определите время движения катера до этого дерева из города \(A\), если известно, что в стоячей воде мотор разгоняет катер до скорости течения воды в канале за время \(t_c\). Считайте, что при отплытии катер мгновенно приобретает скорость воды в канале.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Ускорение катера найдите из условия разгона до скорости течения за время \(t_c\). Затем запишите две фазы движения (разгон и торможение с тем же ускорением) и условие, что пройденный путь равен \(L = u\,t_{\text{пл}}\).

    Ответ

    \(t_1 = \sqrt{t_c\,t_{\text{пл}} + \dfrac{t_c^2}{2}} - t_c\).

    Решение

    Пусть \(u\) — скорость течения, \(L\) — расстояние между городами, \(a = \dfrac{u}{t_c}\) — ускорение катера. По условию \(L = u\,t_{\text{пл}}\), откуда \(L = a\,t_c\,t_{\text{пл}}\).

    Пусть \(t_1\) — время до дерева, \(t_2\) — полное время. На первом участке \(v = u + at_1\), пройденный путь \(S_1 = ut_1 + \dfrac{at_1^2}{2}\). Затем катер тормозит с тем же ускорением до нулевой скорости у \(B\), путь на втором участке \(S_2 = \dfrac{(u + at_1)^2}{2a}\). Полное расстояние \[L = S_1 + S_2 = 2ut_1 + at_1^2 + \frac{u^2}{2a}.\] Решая квадратное уравнение относительно \(t_1\) (берём положительный корень), \[t_1 = \sqrt{\frac{L}{a} + \frac{u^2}{2a^2}} - \frac{u}{a}.\] С учётом \(L/a = t_c t_{\text{пл}}\) и \(u/a = t_c\) получаем ответ.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх