Задачи › Уравнение Бернулли, истечение жидкости

Вариант 1. Клава и бочка с отверстием

  1. Вариант 1. Клава и бочка с отверстием

    СПбГУ 2021/22, 10 кл.
    6/10

    Клава придумала следующую систему автоматического полива. На её участке у самого края грядки на постаменте стоит бочка для воды. Клава решила просверлить в стенке бочки маленькое отверстие и снабдить его пробкой. По задумке, она будет наполнять бочку водой доверху, а затем открывать отверстие, и струйка воды из него будет литься на грядку. Какова наибольшая длина грядки, которую можно целиком полить таким способом? На каком расстоянии от дна бочки для этого нужно проделать отверстие? Высота постамента \(a\), высота бочки \(b > a\). Считайте воду идеальной несжимаемой жидкостью, её течение ламинарным, а диаметр отверстия много меньше диаметра бочки. Струя воды из бочки вылетает горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь.

    Примечание. Для установившегося ламинарного течения идеальной несжимаемой жидкости вдоль линии тока \(p + \dfrac{\rho v^2}{2} + \rho g h = \text{const}\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Скорость вытекания найдите по закону Бернулли для линии тока от поверхности воды до отверстия. Дальность полёта — как у тела, брошенного горизонтально с высоты \(H + a\).

    Ответ

    \(H = \dfrac{b-a}{2}\);  \(L_{\max} = a + b\).

    Решение

    Скорость вытекания из отверстия на высоте \(H\), когда над ним столб воды \(h_1 = b - H\): из закона Бернулли (скорость у поверхности пренебрежимо мала) \(v = \sqrt{2g(b - H)}\). Время полёта от отверстия, находящегося на высоте \(H + a\) над землёй, \(t = \sqrt{\dfrac{2(H+a)}{g}}\). Дальность полёта \[L = vt = 2\sqrt{(H + a)(b - H)}.\] Максимум подкоренного выражения достигается при \(H = \dfrac{b-a}{2}\), и тогда \(L_{\max} = b + a\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх