Задачи › Уравнение Бернулли, истечение жидкости

Вариант 2. Бочка с двумя отверстиями

  1. Вариант 2. Бочка с двумя отверстиями

    СПбГУ 2021/22, 10 кл.
    6/10

    У Васи на даче есть бочка для сбора дождевой воды, стоящая на постаменте высотой \(a\). Вася просверлил в её стенке друг под другом два небольших отверстия — верхнее на расстоянии \(h_1\), а нижнее на расстоянии \(h_2\) от дна бочки — и заткнул их пробками. Однажды после дождя, когда оба отверстия оказались под водой, Вася мелком отметил уровень воды в бочке, открыл верхнее отверстие и отметил наиболее удалённое от постамента место, куда попала струя воды. После этого Вася закрыл верхнее отверстие, долил в бочку воды до отметки и открыл нижнее отверстие. Струя упала на землю в ту же точку, что и в предыдущий раз. Какой уровень воды в бочке был после дождя? На каком расстоянии от постамента струи воды падали на землю? Считайте воду идеальной несжимаемой жидкостью, её течение ламинарным, а диаметр отверстия много меньше диаметра бочки. Струя воды из бочки вылетает горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь.

    Примечание. Для установившегося ламинарного течения идеальной несжимаемой жидкости вдоль линии тока \(p + \dfrac{\rho v^2}{2} + \rho g h = \text{const}\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Для каждого отверстия дальность струи зависит от уровня воды над ним. Приравняйте дальности и учтите, что отверстия расположены на разной высоте.

    Ответ

    \(b = h_1 + h_2 + a\);  \(L = 2\sqrt{(a + h_1)(a + h_2)}\).

    Решение

    Скорость вытекания из отверстия на высоте \(h_{1,2}\) при уровне \(b\): \(v_{1,2} = \sqrt{2g(b - h_{1,2})}\). Время полёта \(t_{1,2} = \sqrt{\dfrac{2(a + h_{1,2})}{g}}\). Дальность \[L_{1,2} = v_{1,2}t_{1,2} = 2\sqrt{(a + h_{1,2})(b - h_{1,2})}.\] Из равенства \(L_1 = L_2\) получаем \(h_1^2 - h_2^2 = (b - a)(h_1 - h_2)\), и, так как \(h_1 \neq h_2\), \(h_1 + h_2 = b - a\). Отсюда \(b = h_1 + h_2 + a\) и \(L = 2\sqrt{(a + h_1)(a + h_2)}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх