Задачи › Формула линзы, увеличение

Вариант 3. Квадрат и собирающая линза

  1. Вариант 3. Квадрат и собирающая линза

    СПбГУ 2021/22, 10 кл.
    7/10

    Квадрат со стороной \(a\) расположен перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием \(F\). Как будет зависеть площадь изображения квадрата в зависимости от расстояния \(d\) до поверхности линзы? Приведите примерный график этой зависимости и объясните его вид.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Постройте изображения ближайшей и дальней граней квадрата по формуле линзы. Площадь трапеции, образованной изображениями граней, — полусумма оснований, умноженная на высоту.

    Ответ

    При \(d > F\): \(S(d) = \dfrac{F^3a^2\,(2d + a - 2F)}{2\,(d - F)^2\,(d + a - F)^2}\). При \(d + a < F\): \(S(d) = \dfrac{F^3a^2\,(2F - 2d - a)}{2\,(F - d)^2\,(F - d - a)^2}\). При \(F - a < d < F\) часть квадрата находится в фокусе, и площадь изображения не определена (неограниченно велика). Пики функции — в точках \(d = F\) и \(d = F - a\).

    Решение

    Для \(d > F\) по формуле линзы \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}\) координаты изображений дальней и ближней граней: \(f_1 = \dfrac{Fd}{d - F}\) и \(f_2 = \dfrac{F(d + a)}{d + a - F}\). Высота трапеции \(h = f_1 - f_2 = \dfrac{F^2a}{(d - F)(d + a - F)}\). Высоты изображений граней \(y_2 = \dfrac{Fa}{d + a - F}\), \(y_1 = \dfrac{Fa}{d - F}\), и \(S = \dfrac{y_1 + y_2}{2}h\), что после упрощения даёт ответ. Для \(d + a < F\) аналогично, с заменой знаков: изображения мнимые, прямые, и формула приведена выше.

    Если часть квадрата лежит в фокусе, один из лучей идёт параллельно оси, изображение уходит на бесконечность, и площадь не ограничена.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх