Вариант 2. Лента и машинка
6/10Конвейерная лента движется с постоянной скоростью \(u\). На ленту в точке \(A\) ставят радиоуправляемую машинку (машинка при этом неподвижна относительно ленты) и сразу запускают против направления движения ленты в точку \(B\). Машинка сначала движется с постоянным ускорением \(a\), а затем в какой-то момент начинает тормозить с тем же ускорением и в точку \(B\) приезжает с нулевой скоростью относительно неподвижного наблюдателя. Определите расстояние между точками \(A\) и \(B\), если за всё время движения машинки конвейерная лента прошла расстояние \(S\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаСкорость машинки относительно Земли в начале равна \(-u\). Выпишите фазы движения относительно Земли и условие, что полное время движения, умноженное на \(u\), равно \(S\).
Ответ\(L = -\dfrac{S}{2} + \dfrac{aS^2}{4u^2} - \dfrac{u^2}{4a}\).
РешениеНаправим ось в сторону \(B\). Относительно Земли в начале скорость машинки \(-u\). Фаза 1 длится \(t_1\): \(v = -u + at_1\), \(S_1 = -ut_1 + \dfrac{at_1^2}{2}\). Фаза 2 длится \(t_2\) с торможением до нуля у \(B\): \(-u + at_1 - at_2 = 0\), то есть \(t_1 - t_2 = \dfrac{u}{a}\). Путь \(S_2 = (-u + at_1)t_2 - \dfrac{at_2^2}{2}\). Из системы \[L = -ut_1 + \frac{at_1^2}{2} + (-u + at_1)t_2 - \frac{at_2^2}{2}, \qquad t_1 - t_2 = \frac{u}{a}\] получаем \(L = at_2^2 - \dfrac{u^2}{2a}\). Полное время \(t_1 + t_2 = 2t_2 + \dfrac{u}{a}\), за которое лента проходит \(S = u(t_1 + t_2)\), откуда \(t_2 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{S}{u} - \dfrac{u}{a}\right)\). Подставляя в выражение для \(L\), получаем ответ.
Похожие задачи
- Саша догоняет друзей МОШ 2009/10, 8 кл.
- Манёвры кораблей ВсОШ 2009/10, 9 кл.
- Красная Шапочка и волк МОШ 2010/11, 7 кл.
- Четыре камня, брошенные с башни Ведомственная 2010/11, 9 кл.
- Эскалатор метро Курчатов 2012/13, 7 кл.
- Яблоко времени ВсОШ 2012/13, 9 кл.