Вариант 3. Поршень, вода и аргон

Для аргона под поршнем давление равно \(p_0\) минус давление насыщенного пара. Объём газа меняется за счёт подъёма поршня и изменения уровня воды в левом сосуде. Разность уровней задана условием.

Пусть \(h_1'\) и \(h_2'\) — конечные уровни воды в запаянном и открытом сосудах, \(\Delta h\) — подъём поршня, \(p_{\text{Ar}}'\) — давление аргона в конце. Равновесие поршня: \(p_0 = p_{\text{Ar}}' + p_{\text{пар}}\). Изотермичность аргона: \(p_0 H = p_{\text{Ar}}'(H + \Delta h)\), откуда \(p_{\text{Ar}}'\,\Delta h = p_{\text{пар}}H\).

Равенство давлений в перемычке по официальному решению: \(\rho_{\text{в}} g h_1' + p_0 = \rho_{\text{в}} g h_2' + p_{\text{пар}}\), то есть \(\rho_{\text{в}} g h_x = p_0 - p_{\text{пар}} = p_{\text{Ar}}'\). Отсюда \(\Delta h = \dfrac{p_{\text{пар}}H}{\rho_{\text{в}} g h_x}\).

Сохранение числа молекул воды даёт второе соотношение между \(h_1'\), \(H\), \(h_x\) и \(\Delta h\) (в официальном решении записано как \(\rho_{\text{в}}(H - h_1' - h_2') = \rho_{\text{п}}(2H + \Delta h - h_2')\)). Решение этой системы даёт \(h_1' = \dfrac{\rho_{\text{в}}(H - h_x) - \rho_{\text{п}}(2H + \Delta h - h_x)}{2\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{п}}}\), и искомый подъём поршня \(x = \Delta h + h_1'\).