Задачи › Сферическое зеркало

Вариант 4. Треугольник и вогнутое зеркало

  1. Вариант 4. Треугольник и вогнутое зеркало

    СПбГУ 2021/22, 10 кл.
    7/10

    Равносторонний треугольник со стороной \(a\) расположен перед вогнутым сферическим зеркалом радиуса \(R\) (см. рис.), при этом \(R = 10a\). Как будет зависеть площадь изображения треугольника в зависимости от расстояния \(d\) до поверхности зеркала? Приведите примерный график этой зависимости и объясните его вид. Считать радиус зеркала много больше грани треугольника.

    Примечание: фокус вогнутого сферического зеркала расположен перед зеркалом на расстоянии, равном половине радиуса кривизны зеркала.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Фокусное расстояние зеркала равно \(R/2\). Постройте по формуле зеркала изображения трёх вершин треугольника; одна из них — дальняя от зеркала, другая — ближняя, третья — посередине. Площадь изображения — полусумма оснований на высоту, как в задаче 15.

    Ответ

    При \(d > R/2\): \(S(d) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{dR}{2d - R} - \dfrac{(d+a)R}{2(d+a) - R}\right)\cdot\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}aR}{2\left(d + \frac{a}{2}\right) - R}\). При \(d < R/2\): \(S(d) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{(d+a)R}{R - 2(d+a)} - \dfrac{dR}{R - 2d}\right)\cdot\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}aR}{R - 2\left(d + \frac{a}{2}\right)}\). Площадь неограниченно велика при \(d = R/2 - a\), \(d = R/2 - a/2\) и \(d = R/2\) (вершины попадают в фокус).

    Решение

    Фокусное расстояние \(F = R/2\). Формула зеркала \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}\) даёт \(f = \dfrac{dR}{2d - R}\) для \(d > R/2\). Для ближней, средней и дальней вершин треугольника получаем координаты изображения \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\): \(f_1 = \dfrac{dR}{2d - R}\), \(f_2 = \dfrac{(d + a/2)R}{2(d + a/2) - R}\), \(f_3 = \dfrac{(d + a)R}{2(d + a) - R}\). Высота изображения средней вершины над осью \(h_2 = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}aR}{2(d + a/2) - R}\), и площадь \(S = \dfrac{1}{2}(f_1 - f_3)h_2\). Для \(d < R/2\) изображения мнимые, и формулы — из той же процедуры с заменой знаков; результат приведён выше.

    График: при удалении треугольника от зеркала площадь убывает, а при приближении вершин к фокусу растёт до бесконечности; между такими точками график имеет разрывы, и площадь в них не определена.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх