Сложность 1–10 — наша примерная оценка: 1–2 — одна формула, 3–4 — несколько шагов по стандартной схеме, 5–6 — нужна идея, известная олимпиаднику, 7–8 — нестандартная идея или длинное решение, 9–10 — самые трудные задачи финалов.
Тени на поляне
Однажды Удав, Попугай и Мартышка решили осветить поляну в джунглях. Мартышка взобралась на пальму и повесила на вершину яркий фонарик «Яркий Луч CL-360A». Друзья измерили рост Мартышки, он оказался равным \(h=5{,}2\) Попугаев. Затем Мартышка пошла с постоянной скоростью \(V=0{,}53\) Попугаев в секунду. Когда она находилась на минимальном расстоянии \(a=37{,}4\) Попугаев от пальмы (в точке \(A\), см. рис.), длина её тени оказалась равной \(S_1=2{,}7\) Попугаев, а тень от головы двигалась со скоростью \(V_1=0{,}031\) Удавов в секунду. Вычислите:
высоту \(H\) пальмы (в Попугаях);
длину \(L\) Удава (в Попугаях);
длину \(S_2\) тени Мартышки (в Попугаях) в момент, когда она находилась на расстоянии \(X=15\) Попугаев от точки \(A\);
скорость \(V_2\) тени от головы Мартышки в этот момент времени (в Попугаях в секунду).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТень от фонарика в вершине пальмы строится прямой линией через верхнюю точку человека. Подобные треугольники свяжут высоты, расстояния и длины теней.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(H = 77{,}23 \pm 0{,}15\) Попугаев; 2) \(L = 18{,}331 \pm 0{,}037\) Попугаев; 3) \(S_2 = 2{,}9091 \pm 0{,}0058\) Попугаев; 4) \(V_2 = 0{,}56826 \pm 0{,}0011\) Попугаев в секунду.
Старинные зеркала
Этому экспонату в здании особняка купцов Елисеевых уже 150 лет. Старинные венецианские зеркала расположены на площадке парадной лестницы друг напротив друга на расстоянии \(L = 7{,}5\) м. На фото вы видите одно из зеркал и «коридор» в нём за счёт многократных отражений. Гости купца дивились на работу мастеров, так как могли насчитать там до 19 чётких отражений. Допустим, человек стоит ровно посередине площадки. Будем называть его отражение в правом зеркале — первым, отражение этого отражения в левом зеркале — вторым, отражение второго отражения в правом зеркале — третьим, и т.д. Вычислите:
расстояние \(X_1\) между 13-м и 14-м изображениями;
расстояние \(X_2\) между 13-м и 15-м изображениями;
с какой скоростью \(V_1\) будет двигаться 7-е изображение, если человек пойдёт к правому зеркалу со скоростью \(0{,}27\) м/с;
с какой скоростью \(V_2\) будут сближаться 6-е и 7-е изображения в этом случае;
каким будет расстояние \(X_3\) между 7-м и 9-м изображениями, если человек, двигаясь к правому зеркалу, переместится на \(S = 1{,}9\) м.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКаждое изображение в плоском зеркале симметрично предмету относительно зеркала. Удобно отложить положения изображений на одной прямой и отсчитывать расстояния по ней.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X_1 = 202{,}5 \pm 4{,}05\) м; 2) \(X_2 = 15 \pm 0{,}3\) м; 3) \(V_1 = 0{,}27 \pm 0{,}0054\) м/с; 4) \(V_2 = 0{,}54 \pm 0{,}0108\) м/с; 5) \(X_3 = 15 \pm 0{,}3\) м.
Параметры линз и источника света
Найдите с максимальной возможной точностью:
положение \(d\) относительно начала шкалы источника света (светящейся стрелки), находящейся за пределами экрана;
фокусное расстояние \(f_1\) линзы 1;
фокусное расстояние \(f_2\) линзы 2;
фокусное расстояние \(f_3\) линзы 3.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоложения изображения на экране дают связь между расстоянием до источника и фокусным расстоянием линзы; для рассеивающей линзы изображение получается мнимым.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(d = 89{,}8 \pm 1\) см; 2) \(f_1 = 14{,}6 \pm 0{,}25\) см; 3) \(f_2 = 7{,}4 \pm 0{,}25\) см; 4) \(f_3 = -7{,}4 \pm 0{,}25\) см.
Две линзы
На собирающую линзу с фокусным расстоянием \(F = 33\) см параллельно главной оптической оси падает цилиндрический пучок света радиусом \(r = 12{,}9\) см. Диаметр пучка меньше диаметра линзы. За линзой параллельно её плоскости расположены два полупрозрачных экрана на некотором расстоянии друг от друга. Светлые круги на экранах одинаковы по размеру и имеют радиус \(R_1 = 4{,}2\) см. Определите:
расстояние \(X\) от линзы до ближайшего к ней экрана;
расстояние \(L\) между экранами.
радиус светлого пятна на ближайшем к линзе экране (\(R_2\));
отношение площади светлого пятна на дальнем от линзы экране к площади пятна на ближнем экране (\(K\)).
Ответы вводите с точностью до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля светлых кругов используйте подобие треугольников: радиус пятна растёт пропорционально расстоянию от точки схождения лучей.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X = 22{,}253 \pm 0{,}11\) см; 2) \(L = 21{,}483 \pm 0{,}11\) см; 3) \(R_2 = 21{,}604 \pm 0{,}11\) см; 4) \(K = 1{,}925 \pm 0{,}11\).
Лазер и два зеркала
Имеется лазер, два зеркала и две линейки. Лазер, одно из зеркал и одну линейку можно вращать.
Лазер начали вращать против часовой стрелки так, что испускаемый им луч стал вращаться с угловой скоростью \(\omega = 0{,}783\) рад/с. Чему равна угловая скорость \(\omega_1\) вращения (изменения наклона) луча, первый раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
Чему равна при этом угловая скорость \(\omega_2\) вращения (изменения наклона) луча, второй раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
Правое зеркало начали вращать против часовой стрелки с угловой скоростью \(\omega = 0{,}783\) рад/с. Чему равна угловая скорость \(\omega_3\) вращения (изменения наклона) луча, первый раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
Чему равна при этом угловая скорость \(\omega_4\) вращения (изменения наклона) луча, второй раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\omega_1 = -0{,}783 \pm 0{,}001\) рад/с; 2) \(\omega_2 = -0{,}783 \pm 0{,}001\) рад/с; 3) \(\omega_3 = 1{,}566 \pm 0{,}001\) рад/с; 4) \(\omega_4 = 3{,}132 \pm 0{,}001\) рад/с.
Режимы светодиодного фонарика
Световым потоком называется мощность потока энергии световых волн. Световой поток равен энергии, излучаемой источником света в единицу телесного угла за единицу времени. Единицей измерения светового потока в системе СИ является люмен (лм). Освещённостью площадки называется отношение падающего на неё светового потока к площади этой площадки. Единицей измерения освещённости является люкс (лк).
Фонарик «Яркий луч» T4 FOCUS, работающий в режиме «заливной свет», направили по нормали на удалённую площадку и измерили освещённость в её центре.
Фонарик включили в режим работы «концентрированный луч». Диаметр светлого пятна на площадке уменьшился в \(N=5{,}8\) раз. Будем считать, что световой поток фонарика при этом не изменился. Во сколько раз \(Y\) увеличилась освещённость в центре площадки?
Фонарик, работающий в режиме «заливной свет», включили в стробоскопический режим. Теперь время работы его от тех же батареек будет в \(K=2{,}9\) раз больше. Считая, что световой поток прямо пропорционален потребляемой электрической мощности, определите, во сколько раз \(Z\) уменьшилась средняя освещённость в центре площадки.
Источником света в фонарике служит светодиод. Он потребляет электрическую мощность \(3\) Вт и создаёт световой поток \(F=144\) лм. Фонарик работает в области спектра, где мощность излучения в \(1\) Вт даёт световой поток \(150\) лм. Вычислите коэффициент полезного действия (КПД) светодиода.
Два колодца
Имеется два колодца одинаковой ширины и глубиной \(h=25{,}3\) м. При этом первый колодец наклонный, а второй — вертикальный. На дне первого колодца по центру находится лампочка, на дне второго — неподвижное зеркало. На верхней части колодцев находятся зеркала, которые можно вращать. С помощью рулетки (изображена в виде линейки) можно измерять расстояния по горизонтали. Найдите, чему равны:
расстояние \(S\), которое должен пройти луч от центра лампочки до центра зеркала на дне второго колодца, если расположить вращающиеся зеркала так, чтобы внутри колодцев он шёл параллельно стенкам;
модуль скорости \(V_1\) движения изображения лампочки в данной системе зеркал, если начать двигать зеркало в вертикальном колодце со скоростью \(V=18\) см/с вдоль данного луча;
модуль скорости \(V_2\) движения изображения лампочки в данной системе зеркал, если начать двигать лампочку со скоростью \(V\) вдоль дна колодца.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(S = 95{,}08 \pm 0{,}2\) м; 2) \(V_1 = 36 \pm 0{,}1\) см/с; 3) \(V_2 = 18 \pm 0{,}1\) см/с.
Светлячки у линзы
Т-образная опора из двух очень тонких палочек одинаковой длины установлена перпендикулярно оптической оси собирающей линзы в её фокальной плоскости. Длина каждой из палочек равна фокусному расстоянию линзы \(F=52{,}5\) см. Два светлячка сидят на противоположных концах горизонтальной палочки (см. рис.). В момент начала отсчёта времени они начинают ползти друг навстречу другу со скоростью \(V=1{,}7\) см/с. Определите:
начальное расстояние \(a\) между изображениями светлячков;
расстояние \(L\) от оптического центра линзы до изображения первого светлячка в момент времени \(t=3{,}4\) с;
на какое расстояние \(S\) сместится изображение второго светлячка за первые \(t=3{,}4\) с движения;
каким будет расстояние \(b\) между изображениями светлячков в момент времени \(t=3{,}4\) с.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТочки, лежащие в фокальной плоскости, дают изображения в бесконечности; для точек, сдвинутых от фокуса, используйте формулу Ньютона для линзы: произведение расстояний от предмета и от изображения до соответствующих фокусов равно \(F^2\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(a = 297 \pm 1\) см; 2) \(L = 230{,}6 \pm 1\) см; 3) \(S = 29{,}64 \pm 0{,}2\) см; 4) \(b = 380{,}8 \pm 1\) см.
Параметры линз и источника света
Найдите с максимальной возможной точностью:
положение \(d\) относительно начала шкалы источника света (светящейся стрелки), находящейся за пределами экрана;
фокусное расстояние \(f_1\) линзы 1;
фокусное расстояние \(f_2\) линзы 2;
фокусное расстояние \(f_3\) линзы 3.
Ответы вводите с точностью до сотых. Увеличительное стекло позволяет увеличивать изображение выбранной области окна; нажатие мышью в любой части того же окна восстанавливает первоначальный масштаб. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 4 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаФормула тонкой линзы связывает расстояния до предмета и изображения с фокусным расстоянием; собирающая линза даёт положительное, рассеивающая — отрицательное значение.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(d = 97{,}8 \pm 1\) см; 2) \(f_1 = 14{,}3 \pm 0{,}25\) см; 3) \(f_2 = 9{,}4 \pm 0{,}25\) см; 4) \(f_3 = -9{,}4 \pm 0{,}25\) см.
Параметры линз и источника света
Найдите с максимальной возможной точностью:
положение \(d\) относительно начала шкалы источника света (светящейся стрелки), находящейся за пределами экрана;
фокусное расстояние \(f_1\) линзы 1;
фокусное расстояние \(f_2\) линзы 2;
фокусное расстояние \(f_3\) линзы 3.
Ответы вводите с точностью до сотых. Увеличительное стекло позволяет увеличивать изображение выбранной области окна; нажатие мышью в любой части того же окна восстанавливает первоначальный масштаб. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 4 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаФормула тонкой линзы связывает расстояния до предмета и изображения с фокусным расстоянием; собирающая линза даёт положительное, рассеивающая — отрицательное значение.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(d = 97{,}8 \pm 1\) см; 2) \(f_1 = 14{,}3 \pm 0{,}25\) см; 3) \(f_2 = 9{,}4 \pm 0{,}25\) см; 4) \(f_3 = -9{,}4 \pm 0{,}25\) см.
Старинные зеркала
Этому экспонату в здании особняка купцов Елисеевых уже 150 лет. Старинные венецианские зеркала расположены на площадке парадной лестницы друг напротив друга на расстоянии \(L = 7{,}5\) м. На фото вы видите одно из зеркал и «коридор» в нём за счёт многократных отражений. Гости купца дивились на работу мастеров, так как могли насчитать там до 19 чётких отражений. Допустим, человек стоит ровно посередине площадки. Будем называть его отражение в правом зеркале — первым, отражение этого отражения в левом зеркале — вторым, отражение второго отражения в правом зеркале — третьим, и т.д. Вычислите:
расстояние \(X_1\) между 13-м и 14-м изображениями;
расстояние \(X_2\) между 13-м и 15-м изображениями;
с какой скоростью \(V_1\) будет двигаться 7-е изображение, если человек пойдёт к правому зеркалу со скоростью \(0{,}27\) м/с;
с какой скоростью \(V_2\) будут сближаться 6-е и 7-е изображения в этом случае;
каким будет расстояние \(X_3\) между 7-м и 9-м изображениями, если человек, двигаясь к правому зеркалу, переместится на \(S = 1{,}9\) м.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКаждое изображение в плоском зеркале симметрично предмету относительно зеркала. Удобно отложить положения изображений на одной прямой и отсчитывать расстояния по ней.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X_1 = 202{,}5 \pm 4{,}05\) м; 2) \(X_2 = 15 \pm 0{,}3\) м; 3) \(V_1 = 0{,}27 \pm 0{,}0054\) м/с; 4) \(V_2 = 0{,}54 \pm 0{,}0108\) м/с; 5) \(X_3 = 15 \pm 0{,}3\) м.
Параметры линз и источника света
Найдите с максимальной возможной точностью:
положение \(d\) относительно начала шкалы источника света (светящейся стрелки), находящейся за пределами экрана;
фокусное расстояние \(f_1\) линзы 1;
фокусное расстояние \(f_2\) линзы 2;
фокусное расстояние \(f_3\) линзы 3.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоложения изображения на экране дают связь между расстоянием до источника и фокусным расстоянием линзы; для рассеивающей линзы изображение получается мнимым.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(d = 96{,}3 \pm 1\) см; 2) \(f_1 = 16 \pm 0{,}25\) см; 3) \(f_2 = 10{,}2 \pm 0{,}25\) см; 4) \(f_3 = -10{,}2 \pm 0{,}25\) см.
Две линзы
На собирающую линзу с фокусным расстоянием \(F = 33\) см параллельно главной оптической оси падает цилиндрический пучок света радиусом \(r = 12{,}9\) см. Диаметр пучка меньше диаметра линзы. За линзой параллельно её плоскости расположены два полупрозрачных экрана на некотором расстоянии друг от друга. Светлые круги на экранах одинаковы по размеру и имеют радиус \(R_1 = 4{,}2\) см. Определите:
расстояние \(X\) от линзы до ближайшего к ней экрана;
расстояние \(L\) между экранами.
радиус светлого пятна на ближайшем к линзе экране (\(R_2\));
отношение площади светлого пятна на дальнем от линзы экране к площади пятна на ближнем экране (\(K\)).
Ответы вводите с точностью до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля собирающей линзы лучи пересекаются в фокусе; для рассеивающей — их продолжения. Пятно на экране — круг, радиус которого растёт пропорционально расстоянию от точки схождения лучей.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X = 22{,}253 \pm 0{,}11\) см; 2) \(L = 21{,}483 \pm 0{,}11\) см; 3) \(R_2 = 21{,}604 \pm 0{,}11\) см; 4) \(K = 1{,}925 \pm 0{,}11\).
Лазер и два зеркала
Имеется лазер, два зеркала и две линейки. Лазер, одно из зеркал и одну линейку можно вращать.
Лазер начали вращать против часовой стрелки так, что испускаемый им луч стал вращаться с угловой скоростью \(\omega=0{,}566\) рад/с. Чему равна угловая скорость \(\omega_1\) вращения (изменения наклона) луча, первый раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
Чему равна при этом угловая скорость \(\omega_2\) вращения (изменения наклона) луча, второй раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
Правое зеркало начали вращать против часовой стрелки с угловой скоростью \(\omega=0{,}566\) рад/с. Чему равна угловая скорость \(\omega_3\) вращения (изменения наклона) луча, первый раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
Чему равна при этом угловая скорость \(\omega_4\) вращения (изменения наклона) луча, второй раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри повороте зеркала на угол \(\varphi\) отражённый луч поворачивается на \(2\varphi\); поворот самого лазера меняет направление луча, а не угол падения на зеркало.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\omega_1 = -0{,}566 \pm 0{,}001\) рад/с; 2) \(\omega_2 = -0{,}566 \pm 0{,}001\) рад/с; 3) \(\omega_3 = 1{,}132 \pm 0{,}001\) рад/с; 4) \(\omega_4 = 2{,}264 \pm 0{,}001\) рад/с.
Фонарь, зеркало и колодец
Имеется модель системы с фонарём, зеркалом и колодцем. Зеркало находится над правой стенкой колодца, его можно вращать. Свет отражается от внешней стороны серебристой части зеркала.
Какой будет размер светового пятна («зайчика») на поверхности земли при первоначальном положении зеркала?
До какого угла с вертикалью надо повернуть зеркало для того, чтобы светильник фонаря (показан жёлтым цветом), отразившись в зеркале, осветил центр дна колодца? Угол считать положительным.
На каком расстоянии будет видно изображение светильника со дна колодца, если зеркало повернуть так, чтобы светильник осветил центр дна колодца?
Светильник считать точечным, расположенным в центре жёлтого круга, находящегося на вершине фонаря. Нижней границей поверхности зеркала считать нижний торец зеркала (или, что то же, центр оси вращения зеркала — поворотный механизм, установленный сбоку, закрывает при виде сбоку часть поверхности зеркала). Линейку и транспортир можно перемещать, ухватившись «мышью» за центральную область, и вращать, ухватившись за окрашенный коричневым край. Перемещение и вращение объектов возможно как в обычном режиме, так и в режиме действия увеличительного стекла. Обратите внимание, что деления шкалы линейки подписаны в метрах. Карандашом можно проводить линию вдоль линейки, приложенной к телу. Стирательная резинка, отпущенная в области проведённой линии, удаляет её.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля плоского зеркала изображение источника лежит за зеркалом на том же расстоянии, что и сам источник; углы падения и отражения равны, и отражённый луч должен попасть в центр дна.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(5{,}125\pm0{,}41\) м; 2) \(0{,}6425\pm0{,}025\) рад; 3) \(66{,}69\pm0{,}95\) м.
С какой скоростью движется изображение светлячка
Светлячок движется со скоростью \(1{,}5\) см/с перпендикулярно к оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием \(18\) см. При этом он пересекает оптическую ось на расстоянии \(55\) см от линзы.
С какой скоростью движется изображение светлячка? На каком расстоянии от линзы изображение пересекает оптическую ось?
Ответы вводить с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаФормула тонкой линзы связывает расстояние до предмета и до изображения; найдите, как меняется расстояние до изображения при смещении предмета.
Два колодца
Имеется два колодца одинаковой ширины и глубиной \(h=25{,}1\) м. При этом первый колодец наклонный, а второй — вертикальный. На дне первого колодца по центру находится лампочка, на дне второго — неподвижное зеркало. На верхней части колодцев находятся зеркала, которые можно вращать. С помощью рулетки (изображена в виде линейки) можно измерять расстояния по горизонтали. Найдите, чему равны:
расстояние \(S\), которое должен пройти луч от центра лампочки до центра зеркала на дне второго колодца, если расположить вращающиеся зеркала так, чтобы внутри колодцев он шёл параллельно стенкам;
модуль скорости \(V_1\) движения изображения лампочки в данной системе зеркал, если начать двигать зеркало в вертикальном колодце со скоростью \(V=17\) см/с вдоль данного луча;
модуль скорости \(V_2\) движения изображения лампочки в данной системе зеркал, если начать двигать лампочку со скоростью \(V\) вдоль дна колодца.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(S = 95{,}04 \pm 0{,}2\) м; 2) \(V_1 = 34 \pm 0{,}1\) см/с; 3) \(V_2 = 17 \pm 0{,}1\) см/с.
Половина стеклянного шара
Из стекла с показателем преломления \(n=1{,}58\) вырезана половина стеклянного шара радиусом \(R=0{,}5\) м. Два тонких луча света падают нормально на плоскую поверхность стекла, каждый на расстоянии \(a\) от его оси симметрии. Оба луча и ось симметрии шара лежат в одной плоскости (см. рис.). На сферической поверхности лучи частично отражаются, а частично преломляются.
При \(a=0{,}18\) м:
под каким углом \(\varphi\) к поверхности сферы выйдут преломлённые лучи;
на каком расстоянии \(X\) от точки \(A\) пересекутся преломлённые лучи;
на каком расстоянии \(Y\) от точки \(A\) пересекутся отражённые лучи;
найдите минимальное значение \(a=a_{\min}\), при котором частицы света луча, отражённого от сферической поверхности, непременно опять попадут на неё (возможны отражения как от сферической, так и от плоской поверхностей).
Ответы вводите с точностью до тысячных. Число \(\pi\) примите равным \(3{,}1416\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУгол падения на сферу найдите из прямоугольного треугольника с гипотенузой \(R\) и катетом \(a\). Дальше — закон преломления на сферической границе и геометрия хода лучей.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\varphi = 0{,}9658 \pm 0{,}01\) рад; 2) \(X = 0{,}7128 \pm 0{,}01\) м; 3) \(Y = 0{,}3696 \pm 0{,}0025\) м; 4) \(a_{\min} = 0{,}1683 \pm 0{,}0025\) м.
Преломление и отражение лучей от сферической поверхности
Из стекла с показателем преломления \(n=1{,}62\) вырезана половина стеклянного шара радиусом \(R=0{,}4\) м. Два тонких луча света падают нормально на плоскую поверхность стекла, каждый на расстоянии \(a=0{,}092\) м от его оси симметрии. Оба луча и ось симметрии шара лежат в одной плоскости (см. рис.). На сферической поверхности лучи частично отражаются, а частично преломляются. Определите:
под каким углом \(\varphi\) пересекутся лучи после преломления на сферической поверхности;
расстояние \(X\) между точками пересечения лучей отражённых и преломленных сферической поверхностью;
расстояние \(S\) между точками, в которых лучи попадут на плоскую поверхность после отражения от сферической;
угол \(\delta\) между лучами, после того как каждый из них отразится от сферической поверхности и преломится на плоской.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля лучей, падающих нормально на плоскую грань, преломление происходит на сферической поверхности по закону Снеллиуса; углы считайте от нормали к сфере в точке падения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\varphi = 0{,}2992 \pm 0{,}011\) рад; 2) \(X = 79{,}359 \pm 0{,}21\) см; 3) \(S = 20{,}581 \pm 0{,}11\) см; 4) \(\delta = 92{,}967 \pm 0{,}21\) \(^\circ\).
Лазер и два зеркала
Имеется лазер, два зеркала и две линейки. Лазер, одно из зеркал и одну линейку можно вращать.
Лазер начали вращать против часовой стрелки так, что испускаемый им луч стал вращаться с угловой скоростью \(\omega = 0{,}86\) рад/с. Чему равна угловая скорость \(\omega_1\) вращения (изменения наклона) луча, первый раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
Чему равна при этом угловая скорость \(\omega_2\) вращения (изменения наклона) луча, второй раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
Правое зеркало начали вращать против часовой стрелки с угловой скоростью \(\omega = 0{,}86\) рад/с. Чему равна угловая скорость \(\omega_3\) вращения (изменения наклона) луча, первый раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
Чему равна при этом угловая скорость \(\omega_4\) вращения (изменения наклона) луча, второй раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри повороте зеркала на угол \(\alpha\) отражённый луч поворачивается на угол \(2\alpha\). Для второго отражения учтите, что направление луча после первого отражения меняется.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\omega_1 \approx -0{,}86 \pm 0{,}001\) рад/с; 2) \(\omega_2 \approx -0{,}86 \pm 0{,}001\) рад/с; 3) \(\omega_3 \approx 1{,}72 \pm 0{,}001\) рад/с; 4) \(\omega_4 \approx 3{,}44 \pm 0{,}001\) рад/с.
Лазер и два зеркала
Имеется лазер, два зеркала и две линейки. Лазер, одно из зеркал и одну линейку можно вращать.
Лазер начали вращать против часовой стрелки так, что испускаемый им луч стал вращаться с угловой скоростью \(\omega=0{,}86\) рад/с. Чему равна угловая скорость \(\omega_1\) вращения (изменения наклона) луча, первый раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
Чему равна при этом угловая скорость \(\omega_2\) вращения (изменения наклона) луча, второй раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
Правое зеркало начали вращать против часовой стрелки с угловой скоростью \(\omega=0{,}86\) рад/с. Чему равна угловая скорость \(\omega_3\) вращения (изменения наклона) луча, первый раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
Чему равна при этом угловая скорость \(\omega_4\) вращения (изменения наклона) луча, второй раз отражённого от правого зеркала? (с учётом знака, с точностью до тысячных)
Задание разрешено переделывать, но за каждую повторную попытку начисляется до 4 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри повороте плоского зеркала на угол \(\alpha\) отражённый луч поворачивается на \(2\alpha\). Учтите, что при вращении лазера луч падает на зеркало под меняющимся углом.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\omega_1 = -0{,}86 \pm 0{,}001\) рад/с; 2) \(\omega_2 = -0{,}86 \pm 0{,}001\) рад/с; 3) \(\omega_3 = 1{,}72 \pm 0{,}001\) рад/с; 4) \(\omega_4 = 3{,}44 \pm 0{,}001\) рад/с.
Лазер и зеркало
Имеется лазер и зеркало, их можно вращать, и две линейки. На одной из линеек нет шкалы, её можно вращать. Определите:
на какой высоте \(h\) от поверхности земли находится точка выхода луча из лазера (ответ вводить с точностью до сотых);
при некоторых углах наклона лазера и зеркала отражённый от зеркала луч может пройти по той же траектории, что и исходящий из лазера, и его продолжение пройдёт через показывающийся на экране левый верхний край поверхности земли. На какой высоте \(H\) от поверхности земли при этом находится точка отражения луча от поверхности зеркала (ответ вводить с точностью до сотых);
при каком угле \(\alpha\) наклона лазера относительно горизонта это произойдёт (ответ вводить с точностью до тысячных радиана).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЛуч, который возвращается по своей траектории, падает на зеркало перпендикулярно его поверхности. Дальше задача решается геометрией прямоугольных треугольников по показаниям линеек.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(h = 9{,}90 \pm 0{,}12\) см; 2) \(H = 14{,}256 \pm 0{,}12\) см; 3) \(\alpha = 0{,}281 \pm 0{,}002\) рад.
Параметры светящейся стрелки и линз
Найдите с максимальной возможной точностью:
положение \(d\) относительно начала шкалы светящейся стрелки, находящейся за пределами экрана (координату её центра);
высоту \(h\) этой стрелки;
сумму \(f_1+f_3\) фокусных расстояний \(f_1\) и \(f_3\) линзы 1 и линзы 3.
Ответы вводите с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля каждой линзы используйте формулу тонкой линзы: изображение светящейся стрелки получается там, где сходятся лучи, прошедшие через линзу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(d = 96 \pm 0{,}5\) см; 2) \(h = 5{,}9 \pm 0{,}1\) см; 3) \(f_1+f_3 = 0 \pm 0{,}9\) см.
Светлячки и линза
Горизонтальная планка установлена перпендикулярно к тонкой линзе с фокусным расстоянием \(F = 11{,}4\) см, главная оптическая ось линзы проходит вдоль планки. Поперёк планки на некотором расстоянии \(a\) друг от друга с одинаковой скоростью \(V = 4\) мм/с ползут два светлячка, причём отрезок \(L\), соединяющий их, параллелен главной оптической оси линзы. Изображение первого светлячка движется со скоростью \(U_1 = 2\) мм/с, а изображение второго — со скоростью \(U_2 = 7{,}6\) мм/с. Векторы скоростей изображений направлены в одну сторону. В момент начала отсчёта времени расстояние между изображениями равно \(S_1 = 23{,}7\) см. Определите:
на каком расстоянии \(L\) друг от друга ползут светлячки;
на каком расстоянии \(a\) от главной оптической оси они находились в момент начала отсчёта времени;
на каком расстоянии \(S_0\) друг от друга будут находиться изображения светлячков, когда они будут пересекать главную оптическую ось линзы;
на каком расстоянии \(S_2\) друг от друга будут находиться изображения светлячков в момент времени \(t = 1{,}2\) мин.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L = 16{,}82 \pm 0{,}37\) см; 2) \(a = 12{,}53 \pm 0{,}28\) см; 3) \(S_0 = 15{,}98 \pm 0{,}35\) см; 4) \(S_2 = 27{,}86 \pm 0{,}61\) см.
Дрон над водопадом
Первичная радуга (чаще всего мы видим именно её) возникает, когда солнечные лучи преломляются, падая на капельку дождя, один раз отражаются от её поверхности и опять преломляются, выходя в воздух (см. рис.). При увеличении угла падения лучей на поверхность капель, скорость роста угла разворота лучей каплями проходит через минимум. Таким образом, интенсивность лучей, повёрнутых каплями именно на этот критический угол, выше, чем идущих под чуть большими или меньшими углами. Величина этого угла зависит от показателя преломления воды, а он разный для лучей разного цвета, поэтому полоса каждого цвета в радуге наблюдается под своим углом. Будем использовать для вычислений округлённое значение этого угла для красных лучей — \(2{,}4\) рад. Фотография сделана на водопаде Виктория на реке Замбези. Солнце поднялось над горизонтом на угол \(\gamma = 0{,}34\) рад. Дрон зависает над водопадом, направляет камеру вдоль солнечного луча и делает фотографию. Затем со скоростью \(V = 0{,}8\) м/с он пролетает вдоль солнечного луча расстояние \(X = 19{,}4\) м, радиус радужного круга уменьшается в \(N = 1{,}6\) раза. Определите:
На каком расстоянии \(L\) от стены брызг находился дрон, когда сделал фотографию.
С какой скоростью \(V_1\) уменьшался радиус радужного круга.
На какой минимальной высоте \(H\) над рекой в ущелье должен был находиться дрон, чтобы радужный круг на фотографии был виден целиком.
На какой минимальной высоте \(Y\) над рекой находился бы в этом случае центр радужного круга.
Число \(\pi = 3{,}1416\). В ответ скорость вводите с точностью до сотых, остальные значения — с точностью до десятых.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L = 51{,}733 \pm 0{,}11\) м; 2) \(V_1 = 0{,}7329 \pm 0{,}021\) м/с; 3) \(H = 61{,}93 \pm 0{,}11\) м; 4) \(Y = 44{,}671 \pm 0{,}11\) м.
Радуга на придуманной планете
Первичная радуга (чаще всего мы видим именно её) возникает, когда солнечные лучи преломляются, падая на капельку дождя, один раз отражаются от её поверхности и опять преломляются, выходя в воздух (см. рис.). Оказалось, что при увеличении угла падения лучей на поверхность капель скорость роста угла разворота лучей каплями в зависимости от угла падения проходит через минимум. Таким образом, интенсивность лучей, повёрнутых каплями именно на этот критический угол, выше, чем идущих под чуть большими или меньшими углами. Величина этого угла зависит от показателя преломления воды, а он разный для лучей разного цвета, поэтому полоса каждого цвета в радуге наблюдается под своим углом. Школьники придумали планету, где капли дождя обладают очень сильной дисперсией — для красного света показатель преломления \(n_1=1{,}38\), а для фиолетового \(n_2=1{,}59\), при этом показатель преломления атмосферы равен единице. Определите:
На какой угол \(\theta\) разворачиваются дождём красные лучи радуги.
Под каким углом \(\beta\) преломляются красные лучи радуги, входя в каплю инопланетного дождя.
Под каким углом \(\alpha\) преломляются фиолетовые лучи, выходя из капли в атмосферу.
Под каким углом \(\gamma\) друг к другу выходят из капли дождя фиолетовые и красные лучи.
Ответы вводите с точностью до десятых, число \(\pi=3{,}1416\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМинимум скорости роста угла разворота означает, что производная угла отклонения по углу падения равна нулю. Углы падения и преломления связаны законом \(\sin i = n\sin r\) на границе воздух — капля.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\theta = 324{,}3 \pm 0{,}2\) \(^\circ\); 2) \(\beta = 37{,}28 \pm 0{,}2\) \(^\circ\); 3) \(\alpha = 44{,}46 \pm 0{,}2\) \(^\circ\); 4) \(\gamma = 20{,}08 \pm 0{,}2\) \(^\circ\).
Кювета на оптической скамье
Имеется оптическая скамья, на первый штатив которой можно поставить стеклянный образец, на второй — кювету с жидкостью либо точно такую же кювету без жидкости, а на третьем установлено зеркало. Также имеются линейка, которую можно вращать за края, и прибор, являющийся излучателем световых импульсов и приёмником отражённых импульсов. Показания прибора — это разница между временем приёма и испускания импульсов. Скамья находится в неизвестной жидкой среде. Определите с максимальной возможной точностью:
скорость \(V_1\) света в окружающей среде (жидкости №1) — в км/с;
показатель преломления \(n\) стеклянного образца;
показатель преломления \(n_2\) жидкости №2, налитой в кювету.
Скорость света в вакууме \(c=299\,792\,458\) м/с.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПрибор измеряет время туда и обратно: по времени на известном пути найдите скорость. Сравнение времени с кюветой с жидкостью и без неё даёт показатель преломления жидкости.
Вращающееся зеркало
Посеребрённая с двух сторон стеклянная пластинка вращается вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью \(\omega\). На расстоянии \(d\) от оси вращения установлен точечный источник света. На рисунке показан график зависимости расстояния от источника до его изображения (\(X\)) от времени (\(t\)). \(X_0=13{,}6\) м, \(t_0=2\) с. Определите:
расстояние от оси вращения до источника света \(d\);
угловую скорость вращения пластины \(\omega\);
линейную скорость движения изображения \(V\);
ускорение изображения \(a\).
Ответы вводите с точностью не хуже, чем до одного процента. Число \(\pi=3{,}1416\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРасстояние до изображения максимально, когда пластина перпендикулярна линии, соединяющей источник и ось; по графику найдите максимум и время между максимумом и нулём. Изображение движется по окружности, как и источник.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(d=6{,}8\) м; 2) \(\omega=0{,}785\) рад/с; 3) \(V=10{,}7\) м/с; 4) \(a=16{,}8\) м/с\(^2\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеМаксимальное расстояние между источником и изображением равно \(2d=X_0\), откуда \(d=X_0/2=6{,}8\) м.
Расстояние меняется по закону \(X=2d\cos\omega t\) (отсчёт от момента, когда зеркало перпендикулярно линии источник–ось). По графику \(X\) обращается в ноль через \(t_0\), значит \(\omega t_0=\pi/2\) и \(\omega=\dfrac{\pi}{2t_0}=0{,}785\) рад/с.
Изображение источника движется по окружности радиуса \(d\) с угловой скоростью \(2\omega\), поэтому \(V=2\omega d=10{,}7\) м/с.
Ускорение изображения при равномерном движении по окружности \(a=(2\omega)^2 d=16{,}8\) м/с\(^2\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.